Переходные процессы в L-, C-, R-цепях. Козлов В.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 8. Схема последовательного резонансного контура.
Если предварительно зарядить конденсатор С (рис. 8), и замкнуть ключ К, то в
получившейся замкнутой цепи начнется сложный процесс, в результате которого энергия
конденсатора постепенно перейдет в тепло, выделившееся на сопротивлении R. Этот
процесс, согласно второму закону Кирхгофа, описывается дифференциальным уравнением
( ) ( )
( )
∫
=+⋅+
0
1
dt
tdI
LtIRdttI
C
. (19)
Продифференцируем один раз по времени, разделим на L и получим:
( ) ( )
( )
02
2
0
2
2
=++
tI
dt
tdI
dt
tId
ωα
, (20)
где
LC
1
2
0
=
ω
и
LR
2
=
α
- коэффициент затухания.
При
2
2
0
αω
>
решение уравнения (21) имеет вид:
( ) ( )
ϕω
α
+=
−
teItI
t
sin
0
, (21)
т.е. в контуре происходят затухающие колебания с частотой
2
2
2
0
2
1
−=−=
L
R
LC
αωω
. (22)
0
I
и φ – постоянные, зависящие от начальных условий.
При замыкании ключа К начальные условия таковы, что
и
C
Q
U
dt
dI
L
t
0
0
0
==
=
, (23)
тогда
( )
te
L
U
tI
t
ω
ω
α
sin
0
−
=
. (24)
Напряжение на емкости С в этом случае:
( ) ( )
+⋅==
−
∫
tteUdttI
C
tU
t
t
C
ω
ω
α
ω
α
sincos
1
0
0
. (25)
Поскольку второе слагаемое в скобках этого выражения мало
( )
22
0
αω
〉 〉
, напряжение на
конденсаторе изменяется практически так же, как и ток в контуре (со сдвигом фазы на
2
π
) (см. (24)). Процесс затухающих колебаний иллюстрируется рис. 9.
9
К
C
R
L
                                                                       9

                                                  C                        L               R




                                                                       К
                                 Рис. 8. Схема последовательного резонансного контура.

      Если предварительно зарядить конденсатор С (рис. 8), и замкнуть ключ К, то в
получившейся замкнутой цепи начнется сложный процесс, в результате которого энергия
конденсатора постепенно перейдет в тепло, выделившееся на сопротивлении R. Этот
процесс, согласно второму закону Кирхгофа, описывается дифференциальным уравнением
                               1                                dI ( t )
                                 ∫ I ( t ) dt + R ⋅ I ( t ) + L          = 0.   (19)
                               C                                 dt
      Продифференцируем один раз по времени, разделим на L и получим:

                                           d 2 I (t )      dI ( t )
                                                2
                                                      + 2α          + ω 02 I ( t ) = 0 ,                                 (20)
                                            dt              dt

где ω 0 = 1 LC и α
      2
                             = R 2L     - коэффициент затухания.
        При ω           >α
                    2        2
                0                решение уравнения (21) имеет вид:

                                                          I ( t ) = I 0 e − α t sin (ω t + ϕ ) ,                         (21)

т.е. в контуре происходят затухающие колебания с частотой

                                                                                                 2
                                                              2                    1   R 
                                           ω =        ω   0       −α   2
                                                                           =         −     .                           (22)
                                                                                  LC  2 L 

I 0 и φ – постоянные, зависящие от начальных условий.
При замыкании ключа К начальные условия таковы, что

                                                                           dI                   Q0
                                           I   t= 0
                                                      = 0         и L                  = U0 =      ,                     (23)
                                                                           dt   t= 0            C
тогда
                                    U0 −α t
                                           I (t ) =
                                       e sin ω t .                                                                       (24)
                                    ωL
Напряжение на емкости С в этом случае:

                                                                   t
                                                              1                                         α         
                                           U C (t ) =           ∫ I ( t ) dt = U 0 ⋅ e − α t  cos ω t +   sin ω t  .   (25)
                                                              C0                                        ω         


Поскольку второе слагаемое в скобках этого выражения мало
                                                               0
                                                                2 2
                                                                      , напряжение на                  (ω 〉 〉 α )
конденсаторе изменяется практически так же, как и ток в контуре (со сдвигом фазы на
π 2 ) (см. (24)). Процесс затухающих колебаний иллюстрируется рис. 9.

Страницы