Резонанс в цепях переменного тока. Козлов В.И - 3 стр.

                                                        4
     Полагая, что переменный ток в контуре изменяется по гармоническому закону,
                        iωt                                                      dI                                   I0
подставим    I = I 0e             в формулу (2) и учитывая, что                  dt
                                                                                    = iω I 0        , а   ∫ I dt =   iω
                                                                                                                             ,
получим:

                                                                  i                       1 
                              ε   = I 0 R + I 0 iω L − I 0          = I0  R +   i ω L −      
                                                                 ωC                      ω C  
                                                                                                                       (3).
     По закону Ома:
                                                    ε
                                                                = Z,
                                                     I
где величина Z оказывается комплексной:
                                                                  1 
                                                Z = R + i ω L −      .
                                                                 ω C 

Она называется импедансом, или полным комплексным сопротивлением цепи для
переменного тока.
     Как известно, есть две формы записи комплексного числа Z:

                                          Z = X + iY                 и       Z = Z e iϕ         .

     При этом модуль комплексного сопротивления последовательного колебательного
контура
                                                                                                2
                                                                                      1   
                                          Z =     X2 +Y2 =             R 2 +  ω L −             ,
                                                                                     ωC    
а аргумент (или фазовый угол)
                                                                           1
                                                                    ω L−
                                             Y                            ωC.
                                   ϕ = arctg   = arctg
                                             X                           R

     Здесь угол ϕ показывает сдвиг фаз между током I и полным напряжением в цепи,
которое равно напряжению на генераторе             ε        .
     Если изменять частоту внешней электродвижущей силы, оставляя неизменными
параметры контура L, C, R, то при некоторой частоте мнимая часть комплексного
сопротивления Z обращается в нуль, т.е. оказывается, что контур обладает только
активным сопротивлением R. При этом будет наблюдаться возрастание тока, а когда ток
достигает максимального значения, то наступает резонанс. Частоту генератора,
соответствующую максимуму тока, называют резонансной частотой ωрез.
     Из уравнения (3) следует, что
                                                                     1
                                                    ω   рез     =       .                                                  (4)
                                                                     LC

     Как известно, такое же выражение получается для частоты собственных свободных
колебаний, т.е.
                                                                ωрез = ω0.
     При резонансе максимальных значений достигают также напряжения на
конденсаторе и катушке индуктивности, причем выражение для резонансной частоты для