Резонанс в контурах с индуктивной связью. Козлов В.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В системе двух связанных контуров возможен резонанс, который связан с одной
из двух мод, проиллюстрированных на рис.2. При резонансе увеличиваются
амплитуды токов I
01
, I
02
, а следовательно, и величина I
01
± I
02
. Также увеличивается
и напряжение на элементах колебательного контура. Как следует из системы
уравнений (9), при постоянной правой части амплитуда тока будет максимальной,
если модуль импеданса принимает минимальное значение. Это имеет место, когда
реактивная часть полного сопротивления равна нулю. Используя это условие,
найдем резонансные частоты из системы уравнений (9).
L
L
L
L
P
12
0
P2
12
0
1
1
,
1
−
=
+
=
ω
ω
ω
ω
. (10)
Если сравнить формулы (10) для резонансных частот с формулами (7) для
нормальных частот, то можно сделать важный вывод: резонансные частоты
совпадают с нормальными частотами системы.
Далее следует обсудить вопрос о том, всегда ли возможно отчетливое
наблюдение двух резонансных пиков.
Степень влияния контуров друг на друга количественно оценивают
коэффициентом связи K, который определяется как среднее геометрическое из
степеней связи первого контура со вторым K
1
и второго контура с первым K
2
:
21
KKK
=
. (11)
Покажем, как рассчитывается коэффициент K для случая индуктивной связи
между контурами. Пусть в первом контуре L
1
C
1
течет ток I
1
, а второй контур L
2
C
2
разомкнут (Рис.1). Тогда на зажимах катушки L
1
возникнет ЭДС самоиндукции
dt
dI
L
L
1
11
−=
ε
, а на катушке L
2
— ЭДС взаимоиндукции
dt
dI
L
L
1
2121
−=
ε
. Отношение
этих двух ЭДС и характеризует степень связи контуров:
1
21
1
L
L
K
=
. Аналогично для
K
2
имеем:
2
12
2
L
L
K
=
.
Учитывая, что L
12
= L
21
, будем иметь согласно (11):
L
L
LL
L
K
12
21
12
==
. (12).
Эту формулу можно обобщить на случай любого типа связи между контурами.
Умножим числитель и знаменатель на
ω
и введем обозначения: X
m
=
ω
L
12
-сопротивление связи, X
1
=
ω
L
1
, X
2
=
ω
L
2
- соответственно, реактивные
8
    В системе двух связанных контуров возможен резонанс, который связан с одной
из двух мод, проиллюстрированных на рис.2. При резонансе увеличиваются
амплитуды токов I01, I02, а следовательно, и величина I01 ± I02. Также увеличивается
и напряжение на элементах колебательного контура. Как следует из системы
уравнений (9), при постоянной правой части амплитуда тока будет максимальной,
если модуль импеданса принимает минимальное значение. Это имеет место, когда
реактивная часть полного сопротивления равна нулю. Используя это условие,
найдем резонансные частоты из системы уравнений (9).

                      ω                                       ω
     ω    P1   =          0
                                      ,         ω   P2   =        0
                        L                                         L12 .                               (10)
                    1 + 12                                   1−
                         L                                         L

    Если сравнить формулы (10) для резонансных частот с формулами (7) для
нормальных частот, то можно сделать важный вывод: резонансные частоты
совпадают с нормальными частотами системы.

    Далее следует обсудить вопрос о том, всегда ли возможно отчетливое
наблюдение двух резонансных пиков.
    Степень влияния контуров друг на друга количественно оценивают
коэффициентом связи K, который определяется как среднее геометрическое из
степеней связи первого контура со вторым K1 и второго контура с первым K2:

         K =       K1 K 2     .                                                                       (11)

    Покажем, как рассчитывается коэффициент K для случая индуктивной связи
между контурами. Пусть в первом контуре L1C1 течет ток I1, а второй контур L2C2
разомкнут (Рис.1). Тогда на зажимах катушки L1 возникнет ЭДС самоиндукции
                   dI 1                                                                      dI 1
ε L1 =   − L1           , а на катушке L2— ЭДС взаимоиндукции             ε L 21 =   − L21        . Отношение
                   dt                                                                        dt
                                                                                     L
этих двух ЭДС и характеризует степень связи контуров: K 1 = L . Аналогично для
                                                             21

                                                             1
                              L12
K2 имеем: K 2 =                   .
                              L2
     Учитывая, что L12 = L21, будем иметь согласно (11):

                    L12               L12
          K=                      =         .                                                         (12).
                    L1 L2              L


    Эту формулу можно обобщить на случай любого типа связи между контурами.
Умножим числитель и знаменатель на ω и введем обозначения: Xm = ωL12
-сопротивление связи, X1 = ωL1, X2 = ωL2 - соответственно, реактивные



                                                                      8

Страницы