Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ
ïÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï,
Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ž ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏ-
ÇÏ ÏÎÉ ÚÁ×ÉÓÑÔ. ðÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ, ÄÒÕÇÉÈ Ñ×ÌÅÎÉÊ, ÉÓÓÌÅÄÏ-
×ÁÎÉÑ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÏÂßÅËÔÏ× ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ (ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ) ÔÁËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
F (x, y(x), y
0
(x), ..., y
(n)
) = 0. (1)
÷ Î¾Í ÓÌÅ×Á ÓÔÏÉÔ ÆÕÎËÃÉÑ, ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
y(x) É Å¾ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ y
0
(x), y
00
(x), ..., y
(n)
(x). ðÏÒÑÄÏË ÓÔÁÒÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÐÏÒÑÄÏË ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÉÍÅÒÙ:
1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
y
0
=
y
x
. (∗)
2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
y
00
+ 4y = 0. (∗∗)
òÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËŠž × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÅÇÏ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. òÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(*) ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÑ y = cx, ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÏÄÓÔÁ×É× ÅÇÏ
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï c = c. òÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (**) ÂÕÄÅÔ
y(x) = c
1
sin 2x + c
2
cos 2x.
éÚ ÜÔÉÈ ÐÒÉÍÅÒÏ× ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÉÍÅÀÔ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÝÉÈ
× ÎÉÈ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ðÒÉÄÁ×ÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÅ c × ÒÅÛÅÎÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (*) y = cx
ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÂÕÄÅÍ ÐÏÌÕÞÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: ÐÒÉ c = 1 y = x, ÐÒÉ c = 3 y = 3. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (*)
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÎÕ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ c, ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (**) Ä×Å ËÏÎÓÔÁÎÔÙ c
1
É
c
2
. üÔÏ ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÏ É Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (*) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (**) ¡ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y = y(x, c
1
, c
2
...c
n
) (2)
Ô.Å. ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ n ËÏÎÓÔÁÎÔ. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) ÞÁÓÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
× ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
(x, y(x), c
1
, c
2
, ...c
n
) = 0 (3)
5
1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ
   ïÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï,
Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ž ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏ-
ÇÏ ÏÎÉ ÚÁ×ÉÓÑÔ. ðÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ, ÄÒÕÇÉÈ Ñ×ÌÅÎÉÊ, ÉÓÓÌÅÄÏ-
×ÁÎÉÑ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÏÂßÅËÔÏ× ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ (ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ) ÔÁËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                          F (x, y(x), y 0(x), ..., y (n)) = 0.                 (1)
   ÷ Î¾Í ÓÌÅ×Á ÓÔÏÉÔ ÆÕÎËÃÉÑ, ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
y(x) É Å¾ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ y 0 (x), y 00(x), ..., y (n)(x). ðÏÒÑÄÏË ÓÔÁÒÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÐÏÒÑÄÏË ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÉÍÅÒÙ:
1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
                                                y
                                       y0 = .                                   (∗)
                                                x
2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
                                    y 00 + 4y = 0.                            (∗∗)
   òÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËŠž × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÅÇÏ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. òÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(*) ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÑ y = cx, ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÏÄÓÔÁ×É× ÅÇÏ
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï c = c. òÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (**) ÂÕÄÅÔ
                           y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x.
     éÚ ÜÔÉÈ ÐÒÉÍÅÒÏ× ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÉÍÅÀÔ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÝÉÈ
× ÎÉÈ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ðÒÉÄÁ×ÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÅ c × ÒÅÛÅÎÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (*) y = cx
ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÂÕÄÅÍ ÐÏÌÕÞÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: ÐÒÉ c = 1 y = x, ÐÒÉ c = 3 y = 3. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (*)
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÎÕ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ c, ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (**) Ä×Å ËÏÎÓÔÁÎÔÙ c 1 É
c2 . üÔÏ ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÏ É Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (*) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (**) ¡ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                                y = y(x, c1, c2...cn)                          (2)
Ô.Å. ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ n ËÏÎÓÔÁÎÔ. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) ÞÁÓÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
× ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
                          (x, y(x), c1, c2 , ...cn) = 0             (3)
                                       5

Страницы