Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1).
ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ Ë ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ ÄÌÑ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÕÞÉÔÙ-
×ÁÀÝÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ. üÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÔØ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ. éÈ ÕÞÅÔ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÎÓÔÁÎÔ
× ÏÂÝÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑÈ (2) ÉÌÉ (3) É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÜÔÉÍ ÎÁÞÁÌØ-
ÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ) ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅ-
ÎÉÅ. þÉÓÌÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÒÑÄËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y
0
= f(x, y) ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ
ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ: × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ x = x
0
y(x
0
) = y
0
, ÇÄÅ y
0
¡ ÚÁÄÁÎ-
ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y
00
= f(x, y, y
0
) ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÁ×ÉÔØ
Ä×Á ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑ: ÐÒÉ x = x
0
y(x
0
) = y
0
, y
0
(x
0
) = y
0
0
, ÇÄÅ y
0
, y
0
0
¡ ÚÁ-
ÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (1) n ÎÁÞÁÌØÎÙÈ
ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÁÐÉÛÕÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y(x
0
) = y
0
, y
0
(x
0
) = y
0
0
, ..., y
(n−1)
(x
0
) = y
n−1
0
,
ÇÄÅ y
0
, y
0
0
, y
00
0
, . . . , y
(n−1)
0
¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. úÁÄÁÞÁ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) Ó ÎÁ-
ÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ (4) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
y
00
+ 4y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 2.
íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y(x) = c
1
sin 2x + c
2
cos 2x.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
y(0) = c
1
sin 0 + c
2
cos 0 = 0 ⇒ c
2
= 0.
îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ
y
0
(x) = −2c
1
cos 2x + 2c
2
sin 2x.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÓÀÄÁ ×ÔÏÒÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
y
0
(0) = −2c
1
cos 0 + 2c
2
sin 0 = 2 ⇒ c
1
= 1.
òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y(x) = −sin 2x.
íÅÔÏÄÙ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÉÚ-
×ÅÓÔÎÙ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ×ÉÄÏ× ÜÔÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. óÎÁÞÁÌÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÄÏÐÕÓËÁÀÝÉÅ ÔÏÞÎÙÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ.
6
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1).
   ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ Ë ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ ÄÌÑ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÕÞÉÔÙ-
×ÁÀÝÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ. üÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÔØ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ. éÈ ÕÞÅÔ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÎÓÔÁÎÔ
× ÏÂÝÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑÈ (2) ÉÌÉ (3) É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÜÔÉÍ ÎÁÞÁÌØ-
ÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ) ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅ-
ÎÉÅ. þÉÓÌÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÒÑÄËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y 0 = f (x, y) ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ
ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ: × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ x = x0 y(x0) = y0 , ÇÄÅ y0 ¡ ÚÁÄÁÎ-
ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y 00 = f (x, y, y 0) ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÁ×ÉÔØ
Ä×Á ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑ: ÐÒÉ x = x0 y(x0) = y0 , y 0 (x0) = y00 , ÇÄÅ y0 , y00 ¡ ÚÁ-
ÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (1) n ÎÁÞÁÌØÎÙÈ
ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÁÐÉÛÕÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                y(x0) = y0 ,     y 0 (x0) = y00 , ..., y (n−1) (x0) = y0n−1,
                   (n−1)
ÇÄÅ y0 , y00 , y000 , . . . , y0 ¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. úÁÄÁÞÁ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1) Ó ÎÁ-
ÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ (4) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
                      y 00 + 4y = 0,     y(0) = 0,      y 0 (0) = 2.
íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                             y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                     y(0) = c1 sin 0 + c2 cos 0 = 0 ⇒ c2 = 0.
îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ
                           y 0 (x) = −2c1 cos 2x + 2c2 sin 2x.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÓÀÄÁ ×ÔÏÒÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                  y 0 (0) = −2c1 cos 0 + 2c2 sin 0 = 2 ⇒ c1 = 1.
òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                   y(x) = − sin 2x.
   íÅÔÏÄÙ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÉÚ-
×ÅÓÔÎÙ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ×ÉÄÏ× ÜÔÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. óÎÁÞÁÌÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÄÏÐÕÓËÁÀÝÉÅ ÔÏÞÎÙÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ.
                                6

Страницы