Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
F (x, y, y
0
) = 0 (3)
ÉÌÉ, ÐÏÓÌÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ,
y
0
= f(x, y). (4)
äÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (4) ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
y
0
= f(x, y), y = y(x
0
) ÐÒÉ x = x
0
. (5)
úÁÍÅÎÑÑ y
0
ÎÁ
dy
dx
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (4) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
dy = f(x, y)dx. (6)
îÁ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ (5) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ.
ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (4) ÆÕÎËÃÉÑ f(x, y) É Å¾ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
∂f
∂y
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (xOy), ÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ
ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ (x
0
, y
0
) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(4), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y = y
0
ÐÒÉ x = x
0
.
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÉ ÔÏÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) ÚÁÄÁÞÉ (5), ÇÒÁÆÉË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (x
0
, y
0
).
çÒÁÆÉË y(x) ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ,
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ
y = y(x, c). éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ (x
0
, y
0
)
× ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y(x
0
, c) = y
0
, ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÎÁÊÄÅÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ c
0
, ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÅÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y(x, c
0
) ÚÁÄÁÞÉ (5).
óÁÍÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (4) ÔÁËÖÅ ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÒÁËÔÏ×ËÕ: ÏÎÏ ÚÁ-
ÄÁ¾Ô ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ xOy ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍ
ËÒÉ×ÙÍ, ×ÈÏÄÑÝÉÍ × ÏÂÝÅÅ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4) ËÏÎÓÔÁÎÔÅ c, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ f(x, y) = c, ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÉÚÏËÌÉÎÏÊ. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÚÏËÌÉÎÙ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(4), ×ÓÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÕÇÏÌ ÎÁËÌÏÎÁ Ó ÏÓØÀ Ox.
éÎÏÇÄÁ ÉÚÏËÌÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÉÎ-
ÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ.
3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ϕ
1
(x)ϕ
1
(y)dx + ϕ
2
(x)ϕ
2
(y)dy = 0
7
2. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
  äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
                                      F (x, y, y 0) = 0                 (3)
ÉÌÉ, ÐÏÓÌÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ,
                                          y 0 = f (x, y).               (4)
äÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (4) ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
                        y 0 = f (x, y),     y = y(x0) ÐÒÉ x = x0.       (5)
                 dy
úÁÍÅÎÑÑ y 0 ÎÁ   dx
                      ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (4) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
                                      dy = f (x, y)dx.                  (6)
îÁ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ (5) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ.
   ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (4) ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) É Å¾ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
∂f
∂y ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (xOy), ÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ
ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ (x0, y0 ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(4), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y = y0 ÐÒÉ x = x0.
   çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÉ ÔÏÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) ÚÁÄÁÞÉ (5), ÇÒÁÆÉË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (x0, y0).
çÒÁÆÉË y(x) ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ,
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ
y = y(x, c). éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ (x0, y0)
× ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y(x0, c) = y0 , ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÎÁÊÄÅÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ c0 , ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÅÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y(x, c0) ÚÁÄÁÞÉ (5).
   óÁÍÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (4) ÔÁËÖÅ ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÒÁËÔÏ×ËÕ: ÏÎÏ ÚÁ-
ÄÁ¾Ô ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ xOy ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍ
ËÒÉ×ÙÍ, ×ÈÏÄÑÝÉÍ × ÏÂÝÅÅ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4) ËÏÎÓÔÁÎÔÅ c, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ f (x, y) = c, ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÉÚÏËÌÉÎÏÊ. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÚÏËÌÉÎÙ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(4), ×ÓÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÕÇÏÌ ÎÁËÌÏÎÁ Ó ÏÓØÀ Ox.
éÎÏÇÄÁ ÉÚÏËÌÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÉÎ-
ÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ.

3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
  õÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                          ϕ1(x)ϕ1(y)dx + ϕ2(x)ϕ2(y)dy = 0
                                         7

Страницы