Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y = u(x) · v(x). (8)
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ (8), ÐÏÌÕÞÉÍ
y
0
(x) = uv
0
+ u
0
v. (9)
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ (9) × (7), ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ uv
0
+ u
0
v + p(x)uv = q(x) ÉÌÉ
dv
dx
+ pv
+ v
du
dx
= q. (10)
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔØÀ ÆÕÎËÃÉÉ v(x), ×ÙÂÅÒÅÍ ÅÅ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏÂÙ
dv
dx
+ pv = 0. (11)
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ × ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ
dv
v
= −p(x)dx.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
ln |v| − ln |c| = −
Z
p(x)dx ÉÌÉ v = ce
−
R
p(x)dx
.
îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÍÅÔØ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11), ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÏÌÏÖÉÍ
v = e
−
R
p(x)dx
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ v(x) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (10), ÐÏÌÕÞÉÍ
v(x)
du
dx
= q(x)
ÉÌÉ
du
dx
=
q(x)
v(x)
.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
u =
Z
q(x)
v(x)
dx + c.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u(x) É v(x) × (8), ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ (7)
y(x) =
Z
q(x)
v(x)
dx + c
v(x). (12)
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y
0
− y = sin x.
ðÏÌÏÖÉ× y = uv, ÐÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
u
0
v + v
0
u − uv = sin x ÉÌÉ u(v
0
− v) + u
0
v = sin x.
9
òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                               y = u(x) · v(x).                        (8)
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ (8), ÐÏÌÕÞÉÍ
                              y 0 (x) = uv 0 + u0v.                    (9)
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ (9) × (7), ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ uv 0 + u0 v + p(x)uv = q(x) ÉÌÉ
                                  
                            dv            du
                               + pv + v       = q.                    (10)
                            dx            dx
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔØÀ ÆÕÎËÃÉÉ v(x), ×ÙÂÅÒÅÍ ÅÅ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏÂÙ
                                  dv
                                     + pv = 0.                        (11)
                                 dx
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ × ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                dv
                                    = −p(x)dx.
                                 v
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                                Z                  R
             ln |v| − ln |c| = − p(x)dx ÉÌÉ v = ce− p(x)dx .

îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÍÅÔØ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11), ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÏÌÏÖÉÍ
                                         R
                                v = e−       p(x)dx
                                                      .
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ v(x) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (10), ÐÏÌÕÞÉÍ
                                  du
                             v(x) = q(x)
                                  dx
ÉÌÉ
                               du    q(x)
                                   =      .
                               dx v(x)
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                               Z
                                   q(x)
                           u=           dx + c.
                                   v(x)
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u(x) É v(x) × (8), ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ (7)                      Z             
                                 q(x)
                     y(x) =           dx + c v(x).               (12)
                                 v(x)
  ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 0 − y = sin x.
  ðÏÌÏÖÉ× y = uv, ÐÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
            u0v + v 0 u − uv = sin x ÉÌÉ u(v 0 − v) + u0 v = sin x.
                                      9

Страницы