Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÅÌÉÍ ÎÁ y
n
É ÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ z = y
−n+1
. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
z
0
+ (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x).
òÅÛÉ× ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ ÏÔ z(x) Ë y(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2(xy
0
+ y) = xy
2
.
òÁÚÄÅÌÉ× ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ 2x, ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÇÏ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ âÅÒÎÕÌÌÉ
y
0
+
y
x
=
y
2
2
.
äÅÌÑ ÏÂÅ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ ÎÁ y
2
, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
y
0
y
2
+
1
xy
=
1
2
.
óÄÅÌÁÅÍ × ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÕ
z = y
−2+1
=
1
y
, ÔÏÇÄÁ z
0
= −
y
0
y
2
É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÆÕÎËÃÉÉ z(x) ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
z
0
−
1
x
z = −
1
2
.
òÅÛÁÑ ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÓÐÏÓÏÂÏÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ
z = uv, u
0
v + uv
0
−
1
x
uv = −
1
2
, v
0
−
1
x
v = 0,
dv
v
=
dx
x
, ln |v| = ln |x|, v = x,
u
0
x = −
1
2
, u
0
= −
1
2x
, u = −
1
2
ln |x|+ c,
z(x) =
−
1
2
ln |x|+ c
x.
õÞÉÔÙ×ÁÑ ÓÄÅÌÁÎÎÕÀ ÚÁÍÅÎÕ y(x) =
1
z(x)
, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y(x) =
1
(−
1
2
ln |x|+ c)
.
11
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÅÌÉÍ ÎÁ y n É ÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ z = y −n+1. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

                      z 0 + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x).

òÅÛÉ× ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ ÏÔ z(x) Ë y(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
  ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2(xy 0 + y) = xy 2 .
  òÁÚÄÅÌÉ× ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ 2x, ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÇÏ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ âÅÒÎÕÌÌÉ

                                    0 y y2
                                   y + = .
                                      x 2
äÅÌÑ ÏÂÅ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ ÎÁ y 2 , ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                                   y0   1   1
                                      +   =   .
                                   y 2 xy   2
óÄÅÌÁÅÍ × ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÕ

                            −2+1    1                  y0
                                                        0
                      z=y          = ,      ÔÏÇÄÁ z = − 2
                                    y                  y
É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÆÕÎËÃÉÉ z(x) ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                       1     1
                                   z0 − z = − .
                                       x     2
òÅÛÁÑ ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÓÐÏÓÏÂÏÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                       1         1          1
            z = uv,      u0v + uv 0 − uv = − ,         v 0 − v = 0,
                                       x         2          x
                    dv    dx
                       =     ,     ln |v| = ln |x|,   v = x,
                     v    x
                       1                1             1
               u0 x = − ,      u0 = − ,          u = − ln |x| + c,
                       2           2x               2
                                       1
                           z(x) = − ln |x| + c x.
                                       2
                                            1
õÞÉÔÙ×ÁÑ ÓÄÅÌÁÎÎÕÀ ÚÁÍÅÎÕ y(x) =           z(x)
                                                ,   ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                                1
                            y(x) =                        .
                                        (− 12 ln |x| + c)
                                           11

Страницы