Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
óÎÁÞÁÌÁ ××ÅÄÅÍ ÐÏÎÑÔÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. æÕÎËÃÉÑ f(x, y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ α,
ÅÓÌÉ f(αx, αy) = αf(x, y), ÇÄÅ α ¡ ÌÀÂÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
ðÒÉÍÅÒ 1. f(x, y) = 2x
4
− 3xy
3
+ y
4
¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÇÏ
ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, Ô.Ë. f(αx, αy) = α
4
f(x, y).
f(x, y) =
3xy
2
−8x
2
y+4y
3
y
2
x
¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, Ô.Ë.
f(αx, αy) = f(x, y).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ y
0
= f(x, y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x, y) ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ
ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ f(αx, αy) = f(x, y) É ÐÏÌÏÖÉ× α =
1
x
ÐÏÌÕÞÉÍ
f(x, y) = f(1,
y
x
).
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÔÅÐÅÒØ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
y
0
(x) = f
y
x
. (13)
C ÐÏÍÏÝØÀ ÚÁÍÅÎÙ
u =
y
x
ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
u =
y
x
, y = ux,
dy
dx
=
du
dx
x + u.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (13), ÐÏÌÕÞÉÍ
x
du
dx
+ u = f(u) ⇒ x
du
dx
= f(u) − u.
òÁÚÄÅÌÑÑ ÚÄÅÓØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
du
f(u) − u
=
dx
x
É ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ
Z
du
f(u) − u
=
Z
dx
x
+ c.
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y = ux, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ
ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13).
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
=
xy − y
2
x
2
− 2xy
.
12
6. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
   óÎÁÞÁÌÁ ××ÅÄÅÍ ÐÏÎÑÔÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. æÕÎËÃÉÑ f (x, y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ α,
ÅÓÌÉ f (αx, αy) = αf (x, y), ÇÄÅ α ¡ ÌÀÂÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. f (x, y) = 2x4 − 3xy3 + y 4 ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÇÏ
ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, Ô.Ë. f (αx, αy) = α4 f (x, y).
                 2     2
                         y+4y 3
   f (x, y) = 3xy −8x2
                    y x         ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, Ô.Ë.
f (αx, αy) = f (x, y).
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 0 = f (x, y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ
ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ f (αx, αy) = f (x, y) É ÐÏÌÏÖÉ× α = x1 ÐÏÌÕÞÉÍ
                                                   y
                                   f (x, y) = f (1, ).
                                                   x
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÔÅÐÅÒØ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
                                               y
                                      0
                                    y (x) = f        .                   (13)
                                                 x
C ÐÏÍÏÝØÀ ÚÁÍÅÎÙ
                                              y
                                          u=
                                              x
ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
                                y               dy     du
                          u = , y = ux,            =      x + u.
                                x               dx dx
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (13), ÐÏÌÕÞÉÍ
                   du                     du
                  x   + u = f (u) ⇒ x        = f (u) − u.
                   dx                     dx
òÁÚÄÅÌÑÑ ÚÄÅÓØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                                  du      dx
                                        =
                              f (u) − u   x
É ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ
                         Z              Z
                               du         dx
                                      =      + c.
                           f (u) − u       x
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y = ux, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ
ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13).
  ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                0  xy − y 2
                               y = 2        .
                                  x − 2xy
                                   12

Страницы