Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ
dv
du
= f
a
1
u
1
+ b
1
v
1
a
2
+ b
2
v
. (18)
ðÏÌÁÇÁÅÍ w =
v
u
É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (18), ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó
ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ w
u
dw
du
= −w + f
a
1
+ b
1
w
a
2
+ b
2
w
.
úÁÍÅÎÑÑ w(u) × ÒÅÛÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ
w(u) =
v
u
,
Á ÚÁÔÅÍ u É v ÎÁ u = x + β, v = y + α ÚÁÐÉÛÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ (14).
2. ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ (17) – = |
a
1
b
1
a
2
b
2
| = 0, ÔÏÇÄÁ
a
1
x + b
1
y
a
2
x + b
2
y
= k.
ÇÄÅ k ¡ ÞÉÓÌÏ. òÅÛÅÎÉÅ (14) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
÷×ÏÄÉÔÓÑ ÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
t = a
1
x + b
1
y, (19)
ÔÏÇÄÁ
dt
dx
= a
1
+ b
1
dy
dx
,
ÏÔËÕÄÁ
dy
dx
=
dt
dx
− a
1
b
1
.
ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14) ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
dt
dx
= a
1
+ b
1
f
t + c
1
kt + c
2
.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
Z
dt
a
1
+ b
1
f
t+c
1
kt+c
2
= x + c.
÷ÙÒÁÖÁÑ ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ t ÞÅÒÅÚ x É y ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (19), ÚÁÐÉÛÅÍ
ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
=
x −3y + 5
2x −y + 4
.
14
É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ
                                                  
                         dv       a 1 u 1 + b 1 v1
                             =f                      .             (18)
                         du         a2 + b 2 v
ðÏÌÁÇÁÅÍ w = uv É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (18), ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó
ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ w
                                              
                      dw            a1 + b 1 w
                    u    = −w + f                .
                      du            a2 + b 2 w
úÁÍÅÎÑÑ w(u) × ÒÅÛÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ
                                         v
                                w(u) = ,
                                         u
Á ÚÁÔÅÍ u É v ÎÁ u = x + β, v = y + α ÚÁÐÉÛÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ (14).
   2. ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ (17) – = |aa21 bb21 | = 0, ÔÏÇÄÁ
                               a1 x + b 1 y
                                            = k.
                               a2 x + b 2 y
ÇÄÅ k ¡ ÞÉÓÌÏ. òÅÛÅÎÉÅ (14) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
÷×ÏÄÉÔÓÑ ÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
                               t = a1 x + b1 y,                   (19)
ÔÏÇÄÁ
                              dt               dy
                                  = a1 + b 1 ,
                              dx               dx
ÏÔËÕÄÁ
                                       dt
                               dy      dx − a1
                                    =            .
                               dx          b1
ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14) ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ                                         
                         dt                   t + c1
                            = a1 + b 1 f               .
                        dx                   kt + c2
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                       Z
                                   dt
                                             = x + c.
                                       t+c1
                           a1 + b1 f kt+c2
÷ÙÒÁÖÁÑ ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ t ÞÅÒÅÚ x É y ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (19), ÚÁÐÉÛÅÍ
ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
  ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                           dy   x − 3y + 5
                              =            .
                           dx 2x − y + 4
                                 14

Страницы