Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

äÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ x = u + α, y = v + β, ÔÏÇÄÁ
dy
dx
=
dv
du
. ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏÌÕÞÉÍ
dv
du
=
u − 3v + α − 3β + 5
2u − v + 2α − β + 4
.
÷ÙÐÉÓÙ×ÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ
α − 3β + 5 = 0,
2α − β + 4 = 0,
ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ËÏÔÏÒÏÊ – = |
1−3
2−1
| = 5 6= 0. òÅÛÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÉÍ α = −
7
5
,
β =
6
5
, ÔÏÇÄÁ x = u −
7
5
, y = v +
6
5
ÉÌÉ
u = x +
7
5
, v = y −
6
5
. (∗)
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ u, v ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
dv
du
=
u − 3v
2u − v
.
äÅÌÁÑ × ÎÅÍ ÚÁÍÅÎÕ s =
v
u
, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ s Ó ÒÁÚÄÅÌÅÎ-
ÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
(2 − s)ds
s
2
− 5s + 1
=
du
u
.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
2
Z
ds
(s −
5
2
)
2
+ 1 −
25
4
−
1
2
Z
2s − 5
s
2
− 5s + 1
ds +
5
2
Z
ds
(s −
5
2
)
2
−
21
4
= ln |u| + ln |c|,
9
2
1
2
q
21
4
ln
5 −
5
2
−
q
21
4
5 −
5
2
+
q
21
4
−
1
2
ln |s
2
− 5s + 1| = ln |u| + ln |c|.
ðÏÓÌÅ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÓÎÁÞÁÌÁ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ u, v, Á ÚÁÔÅÍ É Ë x, y ÐÏ ÆÏÒ-
ÍÕÌÁÍ (*), ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y +
6
5
−
5+
√
21
2
(x −
7
2
)
y +
6
5
−
5−
√
21
2
(x −
7
5
)
!
9
2
·
y +
6
5
x −
7
5
2
−
y +
6
5
x −
7
5
+ 1
!
1
2
= c
x −
7
5
.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
dy
dx
=
2x + 6y − 3
x + 3y + 1
.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÍÅÎÁ x = u + α, y = v + β ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ (5)
2α + 6β −3 = 0,
α + 3β + 1 = 0
15
                                           dy     dv
äÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ x = u + α, y = v + β, ÔÏÇÄÁ dx  = du   . ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏÌÕÞÉÍ
                      dv    u − 3v + α − 3β + 5
                          =                     .
                      du 2u − v + 2α − β + 4
÷ÙÐÉÓÙ×ÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ        
                            α − 3β + 5 = 0,
                            2α − β + 4 = 0,
                                 1−3
ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ËÏÔÏÒÏÊ – = |2−1        | = 5 6= 0. òÅÛÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÉÍ α = − 57 ,
β = 56 , ÔÏÇÄÁ x = u − 57 , y = v + 56 ÉÌÉ
                                         7             6
                               u= x+ , v = y− .                             (∗)
                                         5             5
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ u, v ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
                                     dv     u − 3v
                                         =         .
                                     du 2u − v
äÅÌÁÑ × ÎÅÍ ÚÁÍÅÎÕ s = uv , ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ s Ó ÒÁÚÄÅÌÅÎ-
ÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
                                   (2 − s)ds      du
                                                =    .
                                  s2 − 5s + 1      u
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
    Z                            Z                      Z
                ds           1          2s − 5        5        ds
2            5 2         25−          2 − 5s + 1
                                                 ds +          5   2 − 21
                                                                          = ln |u| + ln |c|,
        (s − 2 ) + 1 −    4
                             2      s                 2   (s − 2
                                                                 )     4
                                    q
             9 1            5 − 52 − 21 4    1
                q     ln            q − ln |s2 − 5s + 1| = ln |u| + ln |c|.
             2 2 21         5 − 52 + 21      2
                  4                     4

  ðÏÓÌÅ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÓÎÁÞÁÌÁ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ u, v, Á ÚÁÔÅÍ É Ë x, y ÐÏ ÆÏÒ-
ÍÕÌÁÍ (*), ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                √              ! 92           2             ! 21        
     y + 56 − 5+2 21 (x − 27 )          y + 65      y + 56               7
                √                   ·             −        +1      =c x−     .
     y + 6 − 5− 21 (x − 7 )             x − 75      x − 75               5
              5       2        5
   ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                           dy     2x + 6y − 3
                               =              .
                           dx      x + 3y + 1
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÍÅÎÁ x = u + α, y = v + β ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ (5)
                          
                             2α + 6β − 3 = 0,
                             α + 3β + 1 = 0
                                    15

Страницы