Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ó ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ |
2 6
1 3
| = 0, ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ
t = x + 3y. (∗)
ôÏÇÄÁ
dt
dx
= 1 + 3
dy
dx
.
ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏÌÕÞÉÍ
1
3
dt
dx
−
1
3
=
2t −3
t + 1
ÉÌÉ
dt
dx
=
7t −8
t + 1
.
òÁÚÄÅÌÑÑ × ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
Z
(t + 1)
7t −8
dt = x + c.
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
1
7
t +
15
49
ln |7t − 8| = x + c.
úÁÍÅÎÑÑ ÚÄÅÓØ t ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (*), ÚÁÐÉÛÅÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ
1
7
(x + 3y) +
15
49
ln |7(x + 3y) − 8| = x + c.
8. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (20)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, ÅÓÌÉ P (x, y) É Q(x, y) ¡
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É
∂P (x, y)
∂y
=
∂Q(x, y)
∂x
. (21)
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (20) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ (21). ðÕÓÔØ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (20)
ÅÓÔØ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy,
16
Ó ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ |21 63 | = 0, ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ
                               t = x + 3y. (∗)
ôÏÇÄÁ
                             dt       dy
                                =1+3 .
                            dx        dx
ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏÌÕÞÉÍ
                              1 dt 1 2t − 3
                                  − =
                              3 dx 3  t+1
ÉÌÉ
                              dt    7t − 8
                                 =         .
                              dx     t+1
òÁÚÄÅÌÑÑ × ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                          Z
                            (t + 1)
                                    dt = x + c.
                             7t − 8
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                         1    15
                           t+    ln |7t − 8| = x + c.
                         7    49
úÁÍÅÎÑÑ ÚÄÅÓØ t ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (*), ÚÁÐÉÛÅÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ
                 1            15
                   (x + 3y) +    ln |7(x + 3y) − 8| = x + c.
                 7            49

8. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ
  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                          P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0                (20)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, ÅÓÌÉ P (x, y) É Q(x, y) ¡
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É
                            ∂P (x, y) ∂Q(x, y)
                                     =         .                    (21)
                              ∂y        ∂x
   ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (20) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ (21). ðÕÓÔØ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (20)
ÅÓÔØ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ
                                              ∂u      ∂u
                   P (x, y)dx + Q(x, y)dy =      dx +    dy,
                                              ∂x      ∂y
                                     16

Страницы