Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ô.Ë. ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (20) ÍÏÖÎÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ du = 0, ÔÏ ÅÇÏ
ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÂÕÄÅÔ u(x, y) = c, Ô.Å.
x
Z
x
0
P (x, y)dx +
y
Z
y
0
Q(x
0
, y)dy = c.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
x
y
2
dx +
y − x
2
y
3
dy = 0.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
∂P
∂y
= −
2x
y
3
,
∂Q
∂x
= −
2x
y
3
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. ôÁË ËÁË
∂u
∂x
=
x
y
2
,
ÔÏ
u =
Z
x
y
2
dx + ϕ(y) =
x
2
2y
2
+ ϕ(y).
îÁÊÄÅÍ
∂u
∂y
É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ Q(x) =
y−x
2
y
3
.
∂u
∂y
= −
2x
2
2y
3
+ ϕ
0
(y) =
y − x
2
y
3
.
ïÔËÕÄÁ
ϕ
0
(y) =
1
y
2
É
ϕ(y) = −
1
y
+ c
1
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
u(x, y) =
x
2
2y
2
−
1
y
+ c
1
É ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
u(x, y) = c,
x
2
2y
2
−
1
y
= c.
18
ô.Ë. ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (20) ÍÏÖÎÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ du = 0, ÔÏ ÅÇÏ
ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÂÕÄÅÔ u(x, y) = c, Ô.Å.
                       Zx                  Zy
                            P (x, y)dx +        Q(x0, y)dy = c.
                       x0                  y0

    ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                               x       y − x2
                                  dx +        dy = 0.
                               y2        y3
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
                             ∂P    2x           ∂Q    2x
                                = − 3,             = − 3.
                             ∂y    y            ∂x    y
                                                                  ∂u       x
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. ôÁË ËÁË     ∂x   =   y2 ,
ÔÏ
                        Z
                          x             x2
                    u=       dx + ϕ(y) = 2 + ϕ(y).
                          y2            2y
         ∂u                                y−x2
îÁÊÄÅÍ   ∂y   É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ Q(x) =         y3 .


                            ∂u    2x2   0      y − x2
                               = − 3 + ϕ (y) =        .
                            ∂y    2y             y3
ïÔËÕÄÁ
                                                   1
                                     ϕ0 (y) =
                                                   y2
É
                                          1
                                  ϕ(y) = − + c1 .
                                          y
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
                                           x2    1
                               u(x, y) =       −   + c1
                                           2y 2 y
É ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                             x2   1
                             u(x, y) = c,       −   = c.
                                            2y 2 y
                                          18

Страницы