Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×
ðÕÓÔØ ÄÁÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ ÏÔ-
ÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÁÒÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
y
(n)
= f(x, y, y
0
, y
00
, ..., y
(n−1)
). (1)
ðÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1)
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = y(x, c
1
, c
2
, ..., c
n
), (2)
ÇÄÅ c
1
, c
2
, ..., c
n
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ, Ô.Å. ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1), ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÉÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ.
þÔÏÂÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1), ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÅ-
ÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x, y, y
0
, y
00
, ..., y
(n−1)
.
ôÅÏÒÅÍÁ 1. (óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1).)
åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ f(x, y, y, ..., y
(n−1)
) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÙÍÉ ÏÔ ÎÅÅ f
x
, f
y
, ..., f
y
(n)
, f
y
(n−1)
× ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÔÏÞËÕ
x = x
0
, y = y
0
, y
0
= y
0
0
, ..., y
(n−1)
= y
(n−1)
0
, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÉÔÏÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ-
ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ
y = y
0
, y
0
= y
0
0
, ..., y
(n−1)
= y
(n−1)
0
.
îÁÈÏÄÑ y
0
(x), y
00
(x), ..., y
(n−1)
, ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÎÉÈ x = x
0
É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÉÈ
ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ n ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÊ c
1
, c
2
, ..., c
n
.
y
0
= y(x
0
, c
1
, c
2
, ..., c
n
),
y
0
0
= y
0
(x
0
, c
1
, c
2
, ..., c
n
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
(n−1)
0
= y
(n−1)
(x
0
, c
1
, c
2
, ..., c
n
).
(3)
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÐÏÓÌÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (3) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ×
(2), ÐÏÌÕÞÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ôÁËÖÅ ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÂÏÌÅÅ
×ÙÓÏËÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÔÉÐÏ× ÜÔÉÈ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÊ.
19
9. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×

   ðÕÓÔØ ÄÁÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ ÏÔ-
ÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÁÒÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ

                           y (n) = f (x, y, y 0, y 00, ..., y (n−1)).             (1)

ðÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1)
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

                                y = y(x, c1, c2, ..., cn),                        (2)

ÇÄÅ c1 , c2, ..., cn ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ, Ô.Å. ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1), ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÉÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ.
þÔÏÂÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1), ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÅ-
ÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x, y, y 0, y 00, ..., y (n−1).
   ôÅÏÒÅÍÁ 1. (óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1).)
åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ f (x, y, y, ..., y (n−1)) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÙÍÉ ÏÔ ÎÅÅ fx , fy , ..., fy(n) , fy(n−1) × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÔÏÞËÕ
                                             (n−1)
x = x0, y = y0 , y 0 = y00 , ..., y (n−1) = y0     , ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÉÔÏÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ-
ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

                                                                (n−1)
                        y = y0 , y 0 = y 0 0 , ..., y (n−1) = y0        .

  îÁÈÏÄÑ y 0 (x), y 00(x), ..., y (n−1), ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÎÉÈ x = x0 É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÉÈ
ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ n ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÊ c1 , c2 , ..., cn.
                        
                        
                         y0 = y(x0, c1 , c2, ..., cn),
                         y 0 = y 0 (x , c , c , ..., c ),
                           0          0 1 2            n
                          ........................                                (3)
                        
                        
                         (n−1)
                          y0      = y (n−1) (x0, c1 , c2, ..., cn).

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÐÏÓÌÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (3) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ×
(2), ÐÏÌÕÞÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ôÁËÖÅ ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÂÏÌÅÅ
×ÙÓÏËÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÔÉÐÏ× ÜÔÉÈ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÊ.
                                  19

Страницы