Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y
(n)
= f(x)
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ÉÎÔÅ-
ÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ n ÒÁÚ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÏÓÌÅ n ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÊ, ÐÏÌÕÞÉÍ
y =
x
Z
x
0
. . .
x
Z
x
0
|
{z }
n
f(x)dx . . .dx +
c
1
(x − x
0
)
n−1
(n − 1)!
+
c
2
(x − x
0
)
n−2
(n − 2)!
+ ... + c
n
.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
y
00
= x
2
, y(0) = 0, y
0
(0) = 1.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
y
0
=
x
Z
0
x
2
dx + c
1
=
x
3
3
+ c
1
, y =
x
4
12
+ c
1
x + c
2
.
ïÐÒÅÄÅÌÑÅÍ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÎÓÔÁÎÔ.
1. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ y
0
(0) = 1, ÐÏÌÕÞÉÍ c
1
= 1.
2. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ y(0) = 0, c
2
= 0.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÉÈ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y =
x
4
12
+ x.
11. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
ÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
11.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ñ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
d
2
y
dx
2
= f
x,
dy
dx
. (4)
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ
dy
dx
ÞÅÒÅÚ p:
dy
dx
= p,
ÔÏÇÄÁ
d
2
y
dx
2
=
dp
dx
.
20
10. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y (n) = f (x)
  ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ÉÎÔÅ-
ÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ n ÒÁÚ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÏÓÌÅ n ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÊ, ÐÏÌÕÞÉÍ
        Zx   Zx
                                 c1 (x − x0)n−1 c2 (x − x0)n−2
    y = . . . f (x)dx . . . dx +               +               + ... + cn .
                                     (n − 1)!       (n − 2)!
        x0   x
        | {z 0}
            n

  ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
                       y 00 = x2 ,   y(0) = 0,      y 0 (0) = 1.
  éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                Zx
             0      2       x3                         x4
            y = x dx + c1 =    + c1 ,               y=    + c1 x + c 2 .
                            3                          12
                   0

  ïÐÒÅÄÅÌÑÅÍ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÎÓÔÁÎÔ.
  1. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ y 0 (0) = 1, ÐÏÌÕÞÉÍ c1 = 1.
  2. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ y(0) = 0, c2 = 0.
  ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÉÈ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                                        x4
                                     y=    + x.
                                        12

11. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
    ÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
11.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ñ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ

  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                                                    
                                 d2 y             dy
                                      =f       x,      .                   (4)
                                 dx2              dx
                           dy
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ      dx
                                ÞÅÒÅÚ p:
                                      dy
                                         = p,
                                      dx
ÔÏÇÄÁ
                                     d2 y    dp
                                          =     .
                                     dx2     dx
                                          20

Страницы