Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (6) ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ
dy
dx
É
d
2
y
dx
2
, ÐÏÌÕÞÉÍ
p
dp
dy
= f(y, p),
Ô.Å. ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ, ÎÁÊÄÅÍ p
ËÁË ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ y É ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ c
1
:
p = p(y, c
1
) ÉÌÉ
dy
dx
= p(y, c
1
).
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ × ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ
dy
p(y, c
1
)
= dx
É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
Z
dy
p(y, c
1
)
= x + c
2
.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (y
0
)
2
+ 2yy
00
= 0.
äÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ y
0
(x) = p(y), ÔÏÇÄÁ
y
00
=
dy
0
dx
=
dp
dy
·
dy
dx
= p
dp
dy
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
p
2
+ 2yp
dp
dy
= 0 ÉÌÉ p
p + 2y
dp
dy
= 0. (7)
ðÏÌÁÇÁÑ ÔÅÐÅÒØ p + 2y
dp
dy
= 0, ÒÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ × ÎÅÍ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ,
ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
dp
p
= −
1
2
dy
y
, ln p = −
1
2
ln y + ln c
1
,
p =
c
1
√
y
,
dy
dx
=
c
1
√
y
1
,
√
ydy = c
1
dx.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
2
3
y
3
2
= c
1
x + c
2
.
ðÏÌÁÇÁÑ × (7) p = 0, Ô.Å. y
0
= 0, ÐÏÌÕÞÉÍ y = c ¡ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7).
ðÒÉÍÅÒ 4. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
y
00
+ 18 sin y cos
3
y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 3.
22
                                   dy       d2 y
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (6) ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ     dx   É   dx2 ,   ÐÏÌÕÞÉÍ
                                  dp
                               p     = f (y, p),
                                 dy
Ô.Å. ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ, ÎÁÊÄÅÍ p
ËÁË ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ y É ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ c1 :
                                            dy
                     p = p(y, c1) ÉÌÉ           = p(y, c1).
                                            dx
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ × ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ
                                    dy
                                          = dx
                                 p(y, c1)
É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                            Z
                                   dy
                                          = x + c2 .
                                p(y, c1)
  ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (y 0 )2 + 2yy 00 = 0.
  äÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ y 0 (x) = p(y), ÔÏÇÄÁ
                          00dy 0   dp dy   dp
                       y =       =   ·   =p .
                            dx     dy dx   dy
  ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                               
                        dp                   dp
               p2 + 2yp = 0 ÉÌÉ p p + 2y          = 0.                   (7)
                       dy                    dy
                         dp
   ðÏÌÁÇÁÑ ÔÅÐÅÒØ p + 2y dy = 0, ÒÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ × ÎÅÍ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ,
ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                   dp       1 dy           1
                      =−         , ln p = − ln y + ln c1 ,
                    p       2 y            2
                       c1      dy     c1   √
                  p= √ ,          =√ ,       ydy = c1 dx.
                         y     dx      y1
  éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                             2 32
                                y = c1 x + c 2 .
                             3
  ðÏÌÁÇÁÑ × (7) p = 0, Ô.Å. y 0 = 0, ÐÏÌÕÞÉÍ y = c ¡ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7).
  ðÒÉÍÅÒ 4. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
              y 00 + 18 sin y cos3 y = 0, y(0) = 0,       y 0 (0) = 3.
                                        22

Страницы