Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ôÅÏÒÅÍÁ 1 (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ). åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ p(x), q(x),
f(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ (a; b), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ x
0
∈ (a; b), y
0
, y
0
0
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (2
0
), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ-
×ÉÑÍ: y(x
0
) = y
0
, y
0
(x
0
) = y
0
0
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÔÅÏÒÅÍÙ). åÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ
ÔÅÏÒÅÍÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ x
0
∈ (a; b); y
0
, y
0
0
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ (ËÒÉ×ÁÑ), ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (x
0
, y
0
) É ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÅ Ó ÏÓØÀ Ox
× ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÕÇÏÌ α, tg α = y
0
0
.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ n.
13. ìÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÉ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
n
(x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ (a, b),
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÎÁ (a, b), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ
α
1
, α
2
, . . ., α
n
, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
x ∈ (a, b) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
α
1
y
1
(x) + α
2
y
2
(x) + . . . + α
n
y
n
(x) = 0.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÉ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
n
(x), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅ-
ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÎÁ (a, b) ÅÓÌÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï:
α
1
y
1
(x) + α
2
y
2
(x) + . . . + α
n
y
n
(x) ≡ 0 ÎÁ (a, b)
(α
i
= const) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÌÉÛØ ÐÒÉ α
1
= α
2
= . . . = α
n
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. y
1
(x) = x
2
, y
2
(x) = x
3
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁ ÌÀÂÏÍ (a; b).
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ α
1
y
1
(x) + α
2
y
2
(x) ≡ 0 É ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ
ÞÉÓÅÌ α
1
ÉÌÉ α
2
, ÎÁÐÒÉÍÅÒ α
1
, ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ. ôÏÇÄÁ
y
1
(x)
y
2
(x)
= −
α
2
α
1
, Ô.Å.
1
x
=
−
α
2
α
1
= const. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ α
1
y
1
+α
2
y
2
≡ 0,
ÔÏ α
1
= 0, α
2
= 0, Ô.Å. y
1
(x) É y
2
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
ðÒÉÍÅÒ 2. y
1
(x) = 4x
2
, y
2
(x) = x
2
.
äÌÑ α
1
= 1, α
2
= −4 ÉÍÅÅÍ: α
1
y
1
+ α
2
y
2
≡ 0 ÎÁ ÌÀÂÏÍ (a, b), Ô.Å. y
1
(x),
y
2
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ y
1
É y
2
ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙ, Ô.Å. ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ (a, b) ×ÙÐÏÌÎÑ-
ÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
y
1
y
2
= λ = const.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. åÓÌÉ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
n
(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ
24
   ôÅÏÒÅÍÁ 1 (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ). åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ p(x), q(x),
f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ (a; b), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ x0 ∈ (a; b), y0, y00 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (20), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ-
×ÉÑÍ: y(x0 ) = y0, y 0 (x0) = y00 .
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÔÅÏÒÅÍÙ). åÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ
ÔÅÏÒÅÍÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ x0 ∈ (a; b); y0 , y00 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ (ËÒÉ×ÁÑ), ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (x0, y0) É ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÅ Ó ÏÓØÀ Ox
× ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÕÇÏÌ α, tg α = y00 .
   áÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ n.


13. ìÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
    ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÉ y1(x), y2(x), . . ., yn (x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ (a, b),
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÎÁ (a, b), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ
α1 , α2 , . . ., αn , ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
x ∈ (a, b) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:

                    α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) = 0.

   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÉ y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅ-
ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÎÁ (a, b) ÅÓÌÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï:

              α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) ≡ 0 ÎÁ (a, b)

(αi = const) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÌÉÛØ ÐÒÉ α1 = α2 = . . . = αn = 0.
    ðÒÉÍÅÒ 1. y1 (x) = x2, y2(x) = x3 ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁ ÌÀÂÏÍ (a; b).
    äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ α1 y1(x) + α2 y2 (x) ≡ 0 É ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ
                                                          y1 (x)    α2     1
ÞÉÓÅÌ α1 ÉÌÉ α2 , ÎÁÐÒÉÍÅÒ α1 , ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ. ôÏÇÄÁ           = − , Ô.Å. =
                                                          y2 (x)    α1     x
   α2
− = const. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ α1 y1 + α2 y2 ≡ 0,
   α1
ÔÏ α1 = 0, α2 = 0, Ô.Å. y1 (x) É y2(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
    ðÒÉÍÅÒ 2. y1 (x) = 4x2, y2 (x) = x2.
    äÌÑ α1 = 1, α2 = −4 ÉÍÅÅÍ: α1 y1 + α2 y2 ≡ 0 ÎÁ ÌÀÂÏÍ (a, b), Ô.Å. y1 (x),
y2 (x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
    úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ y1 É y2 ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙ, Ô.Å. ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ (a, b) ×ÙÐÏÌÎÑ-
                 y1
ÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï      = λ = const.
                 y2
    ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. åÓÌÉ y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ
                                        24

Страницы