Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ðÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ p =
dy
dx
, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
p
dp
dy
= −18 cos
3
y sin y.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
p
2
2
= 18
cos
4
y
4
+ c
1
,
9
2
=
18
4
+ c
1
⇒ c
1
= 0,
ÏÔËÕÄÁ
p
2
= 9 cos
4
y ÉÌÉ p = ±3 cos
2
y.
úÁÍÅÎÑÑ p ÎÁ
dy
dx
, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÑ ÐÅÒ×ÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ-
×ÉÀ, ÐÏÌÕÞÉÍ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
= ±3 cos
2
y,
dy
cos
2
y
= ±3dx,
Z
dy
cos
2
y
= ±x + c
2
,
tg y = ±x + c
2
,
tg 0 = ±0 + c
2
⇒ c
2
= 0,
tg y = ±x, y = ±arctg x.
12. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÅÈÁÎÉËÉ, ÜÌÅËÔÒÏÔÅÈÎÉËÉ É ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÈÎÉ-
ÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ (ìäõ).
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ, Ô.Å. ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
a
0
(x)y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + a
n−1
(x)y
0
+ a
n
(x)y = ϕ(x); (1)
ÐÒÉ n = 2 ÉÍÅÅÍ: a
0
(x)y
00
+ a
1
(x)y
0
+ a
2
(x)y = ϕ(x). (1
0
)
æÕÎËÃÉÉ a
0
(x), a
1
(x), . . . a
n
(x), ϕ(x) ÚÁÄÁÎÙ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a; b).
åÓÌÉ a
0
(x) 6= 0 ÎÁ (a; b), ÔÏ ÄÅÌÉÍ ÎÁ a
0
(x) É ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + p
n−1
(x)y
0
+ p
n
(x)y = f(x) (2)
ÐÒÉ n = 2, ÉÍÅÅÍ: y
00
+ p(x)y
0
+ q(x)y = f(x). (2
0
)
åÓÌÉ ϕ(x) ≡ 0 (f(x) ≡ 0), ÔÏ ìäõ (1) ((2)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. åÓÌÉ
ϕ 6≡ 0 (f(x) 6≡ 0), ÔÏ ìäõ (1) ((2)) ¡ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ.
23
                       dy
  ðÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ p =     dx ,   ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                              dp
                               p   = −18 cos3 y sin y.
                              dy
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÅÇÏ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                               p2        cos4 y
                                   = 18         + c1 ,
                               2           4
                             9 18
                               =      + c1 ⇒ c1 = 0,
                             2     4
ÏÔËÕÄÁ
                      p2 = 9 cos4 y ÉÌÉ p = ±3 cos2 y.
                dy
  úÁÍÅÎÑÑ p ÎÁ dx  , ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÑ ÐÅÒ×ÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ-
×ÉÀ, ÐÏÌÕÞÉÍ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                 dy
                                     = ±3 cos2 y,
                                 dx
                                   dy
                                          = ±3dx,
                                  cos2 y
                              Z
                                    dy
                                          = ±x + c2 ,
                                  cos2 y
                                 tg y = ±x + c2 ,
                         tg 0 = ±0 + c2 ⇒ c2 = 0,
                          tg y = ±x, y = ± arctg x.

12. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
   íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÅÈÁÎÉËÉ, ÜÌÅËÔÒÏÔÅÈÎÉËÉ É ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÈÎÉ-
ÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ (ìäõ).
   äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ, Ô.Å. ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
          a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1(x)y 0 + an (x)y = ϕ(x);   (1)
ÐÒÉ n = 2 ÉÍÅÅÍ:                 a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = ϕ(x).  (10)
æÕÎËÃÉÉ a0 (x), a1 (x), . . . an (x), ϕ(x) ÚÁÄÁÎÙ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a; b).
åÓÌÉ a0 (x) 6= 0 ÎÁ (a; b), ÔÏ ÄÅÌÉÍ ÎÁ a0 (x) É ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
             y (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn−1(x)y 0 + pn (x)y = f (x)      (2)
ÐÒÉ n = 2, ÉÍÅÅÍ:                 y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x).      (20)
   åÓÌÉ ϕ(x) ≡ 0 (f (x) ≡ 0), ÔÏ ìäõ (1) ((2)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. åÓÌÉ
ϕ 6≡ 0 (f (x) 6≡ 0), ÔÏ ìäõ (1) ((2)) ¡ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ.
                                         23

Страницы