Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(a, b) É ÉÍÅÀÝÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÄÏ (n − 1)-ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ:
W (x) =
y
1
(x) y
2
(x) . . . y
n
(x)
y
0
1
(x) y
0
2
(x) . . . y
n
(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
(n−1)
1
(x) y
(n−1)
2
(x) . . . y
(n−1)
n
(x)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ ÉÌÉ ×ÒÏÎÓËÉÁÎÏÍ (àÚÅÆ ÷ÒÏÎÓËÉÊ
(17781853) ¡ ÐÏÌØÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË) (W (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ
(a, b)). åÓÌÉ n = 2, ÔÏ
W (x) =
y
1
y
2
y
0
1
y
0
2
.
ôÅÏÒÅÍÁ 2. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
n
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁ
(a, b), ÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÎÉÈ, ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ ÎÁ
(a, b).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÄÌÑ n = 2. ðÕÓÔØ y
1
(x), y
2
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×É-
ÓÉÍÙ. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ α
1
6= 0 ÉÌÉ α
2
6= 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ α
1
y
1
(x) + α
2
y
2
(x) = 0.
ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, α
1
6= 0. ôÏÇÄÁ y
1
(x) = −
α
2
α
1
y
2
(x), y
0
1
(x) = −
α
2
α
1
y
0
2
(x). ðÏÄ-
ÓÔÁ×ÉÍ × W (x):
W (x) =
y
1
y
2
y
0
1
y
0
2
=
−
α
2
α
1
y
2
y
2
−
α
2
α
1
y
0
2
y
0
2
= 0,
Ô.Ë. ÓÔÏÌÂÃÙ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙ.
ðÒÉÍÅÒ. y
1
(x) = 1, y
2
(x) = sin
2
x, y
3
(x) = cos 2x.
ìÅÇËÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
−y
1
(x) + 2y
2
(x) + y
3
(x) ≡ 0,
Ô.Å. y
1
(x), y
2
(x), y
3
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ. îÁÈÏÄÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ
É ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ:
W (x) =
1 sin
2
x cos 2x
0 sin 2x −2 sin 2x
0 2 cos 2x −4 cos 2x
= −4 sin 2x cos 2x + 4 cos 2x sin 2x = 0.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ W (x) ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ x
0
∈
(a, b), Ô.Å. W (x
0
) 6= 0, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ W (x) ≡ 0 ÎÁ (a, b), ÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ É ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ.
25
(a, b) É ÉÍÅÀÝÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÄÏ (n − 1)-ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ:
                            y1 (x)               y2 (x) . . . yn (x)
                               0
                            y (x)                y 0 (x) . . . yn (x)
                 W (x) = . . . 1. . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                           (n−1)                (n−1)                         (n−1)
                         y1          (x) y2               (x) . . . yn (x)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ ÉÌÉ ×ÒÏÎÓËÉÁÎÏÍ (àÚÅÆ ÷ÒÏÎÓËÉÊ
(1778 1853) ¡ ÐÏÌØÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË) (W (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ
(a, b)). åÓÌÉ n = 2, ÔÏ
                                                         y1 y2
                                        W (x) =                  .
                                                         y10 y20
   ôÅÏÒÅÍÁ 2. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ y1 (x), y2(x), . . ., yn (x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁ
(a, b), ÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÎÉÈ, ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ ÎÁ
(a, b).
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÄÌÑ n = 2. ðÕÓÔØ y1 (x), y2 (x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×É-
ÓÉÍÙ. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ α1 6= 0 ÉÌÉ α2 6= 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ α1 y1 (x) + α2y2 (x) = 0.
                                          α2                    α2
ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, α1 6= 0. ôÏÇÄÁ y1 (x) = − y2 (x), y10 (x) = − y20 (x). ðÏÄ-
                                          α1                    α1
ÓÔÁ×ÉÍ × W (x):
                                                        α2
                                       y1 y2                −
                                                            y2 y2
                      W (x) =                        =  α 1       = 0,
                                       y10 y20          α2
                                                       − y20 y20
                                                        α1
Ô.Ë. ÓÔÏÌÂÃÙ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙ.
   ðÒÉÍÅÒ. y1 (x) = 1, y2 (x) = sin2 x, y3 (x) = cos 2x.
   ìÅÇËÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
                               −y1(x) + 2y2(x) + y3 (x) ≡ 0,
Ô.Å. y1 (x), y2(x), y3 (x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ. îÁÈÏÄÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ
É ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ:
           1 sin2 x    cos 2x
   W (x) = 0 sin 2x −2 sin 2x = −4 sin 2x cos 2x + 4 cos 2x sin 2x = 0.
           0 2 cos 2x −4 cos 2x
   óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ W (x) ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ x0 ∈
(a, b), Ô.Å. W (x0) 6= 0, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ W (x) ≡ 0 ÎÁ (a, b), ÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ É ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ.
                                       25

Страницы