Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3
0
). ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÕÄÁÅÔÓÑ ÔÅÍ ÉÌÉ
ÉÎÙÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÎÁÊÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y
1
(x). ôÏÇÄÁ ÄÒÕÇÏÅ
ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
2
(x) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
y
2
(x) = y
1
(x) ·
Z
1
y
2
1
(x)
exp
−
x
Z
x
0
p(x) dx
dx,
ÇÄÅ x
0
∈ [a; b]. ïÂÁ ÒÅÛÅÎÉÑ y
1
(x) É y
2
(x) ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
15. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
2-ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
þÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ìäõ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄ-
ÎÏÒÏÄÎÙÅ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ:
y
00
+ py
0
+ qy = 0, (5)
ÇÄÅ p É q ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ; ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ p É q ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ É ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÙÍÉ, ÎÏ ÚÄÅÓØ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ.
äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ìäõ ÔÉÐÁ (5) ××ÏÄÉÔÓÑ ÐÏÎÑÔÉÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
λ
2
+ pλ + q = 0 (6)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (5). äÌÑ ÅÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÖÎÏ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ y
(k)
ÎÁ λ
k
(k = 1, 2, . . .); y ÎÁ 1.
ôÅÏÒÅÍÁ 6. åÓÌÉ λ ¡ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) (λ ¡
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÉÌÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ), ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = e
λx
¡ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5).
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ y = e
λx
, y
0
= λe
λx
, y
00
= λ
2
e
λx
× (5), ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ:
e
λx
(λ
2
+ pλ + q) = 0, Ô.Ë. λ
2
+ pλ + q = 0.
éÔÁË, y = e
λx
¡ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5)
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6) ¡ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ ÞÅÒÅÚ λ
1
, λ
2
.
ôÅÏÒÅÍÁ 7. 1). åÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙ É ÒÁÚÌÉÞÎÙ (λ
1
6= λ
2
), ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ
×ÉÄ:
y = c
1
e
λ
1
x
+ c
2
e
λ
2
x
(7)
27
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (30). ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÕÄÁÅÔÓÑ ÔÅÍ ÉÌÉ
ÉÎÙÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÎÁÊÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y1(x). ôÏÇÄÁ ÄÒÕÇÏÅ
ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y2 (x) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
                                             x       
                               Z              Z
                                    1
             y2 (x) = y1 (x) ·    2     exp − p(x) dx dx,
                                 y1 (x)
                                                  x0

ÇÄÅ x0 ∈ [a; b]. ïÂÁ ÒÅÛÅÎÉÑ y1 (x) É y2 (x) ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.


15. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
    2-ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
  þÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ìäõ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄ-
ÎÏÒÏÄÎÙÅ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ:
                               y 00 + py 0 + qy = 0,                         (5)
ÇÄÅ p É q ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ; ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ p É q ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ É ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÙÍÉ, ÎÏ ÚÄÅÓØ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ.
   äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ìäõ ÔÉÐÁ (5) ××ÏÄÉÔÓÑ ÐÏÎÑÔÉÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                                λ2 + pλ + q = 0                              (6)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (5). äÌÑ ÅÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÖÎÏ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ y (k) ÎÁ λk (k = 1, 2, . . .); y ÎÁ 1.
   ôÅÏÒÅÍÁ 6. åÓÌÉ λ ¡ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) (λ ¡
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÉÌÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ), ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = eλx ¡ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5).
   äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ y = eλx , y 0 = λeλx , y 00 = λ2 eλx × (5), ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ:
               eλx (λ2 + pλ + q) = 0, Ô.Ë. λ2 + pλ + q = 0.
éÔÁË, y = eλx ¡ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5)
  õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6) ¡ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ ÞÅÒÅÚ λ1 , λ2 .
  ôÅÏÒÅÍÁ 7. 1). åÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙ É ÒÁÚÌÉÞÎÙ (λ1 6= λ2 ), ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ
×ÉÄ:
                          y = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x                 (7)
                                   27

Страницы