Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2). åÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁ×-
ÎÙÅ (λ
1
= λ
2
), ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y = c
1
e
λ
1
x
+ c
2
xe
λ
1
x
(8)
3). åÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ (λ
1
= α +
iβ; λ
2
= α − iβ, β 6= 0), ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y = e
αx
(c
1
cos βx + c
2
sin βx) (9)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
1). ðÕÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ λ
1
É λ
2
¡ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-
ÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 y
1
(x) = e
λ
1
x
É y
2
(x) = e
λ
2
x
¡ ÞÁÓÔÎÙÅ
ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5).
W (x) =
y
1
y
2
y
0
1
y
0
2
=
e
λ
1
x
e
λ
2
x
λ
1
e
λ
1
x
λ
2
e
λ
2
x
= (λ
2
− λ
1
)e
(λ
1
+λ
2
)x
6= 0
(Ô.Ë. λ
1
6= λ
2
).
÷ ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÆÕÎËÃÉÉ y
1
(x) É y
2
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ,
Á ÔÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5 (7) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
2). ðÕÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6) ÉÍÅÅÔ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÉÅ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ËÏÒÎÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ D =
p
2
4
− 4q = 0 É λ
1
= λ
2
= −
p
2
.
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 y
1
(x) = e
λ
1
x
¡ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ y
2
(x) = x · e
λ
1
x
¡
ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × (5) y = x · e
λ
1
x
; y
0
= (1 + λ
1
x)e
λ
1
x
;
y
00
= (2λ
1
+ λ
2
1
x) ·e
λ
1
x
, ÐÏÌÕÞÉÍ:
e
λ
1
x
· (2λ
1
+ λ
2
1
x + p + pλ
1
x + qx) = 0 ÉÌÉ
e
λ
1
x
· ((λ
2
1
+ pλ
1
+ q)x + (2λ
1
+ p)) = 0.
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ λ
2
1
+ pλ
1
+ q = 0 (Ô.Ë. λ
1
¡ ËÏÒÅÎØ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ) É 2λ
1
+ p = 0 (Ô.Ë. λ
1
= −
p
2
).
éÔÁË, y
2
(x) = x ·e
λ
1
x
¡ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
÷ÒÏÎÓËÏÇÏ:
W (x) =
y
1
y
2
y
0
1
y
0
2
=
e
λ
1
x
xe
λ
1
x
λ
1
e
λ
1
x
(1 + λ
1
x)e
λ
1
x
=
= (1 + λ
1
x − λ
1
x)e
λ
1
x
= e
λ
1
x
6= 0.
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2 y
1
(x) É y
2
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ, Á ÔÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5 (8)
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
3). ðÕÓÔØ λ
1
= α + iβ É λ
2
= α − iβ ¡ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 y
1
= e
λ
1
x
É y
2
= e
λ
2
x
¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ
28
2). åÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁ×-
ÎÙÅ (λ1 = λ2 ), ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                               y = c1 eλ1 x + c2 xeλ1 x                             (8)
3). åÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6) ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ (λ1 = α +
iβ; λ2 = α − iβ, β 6= 0), ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                          y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)                           (9)
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
   1). ðÕÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ λ1 É λ2 ¡ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-
ÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 y1(x) = eλ1 x É y2 (x) = eλ2 x ¡ ÞÁÓÔÎÙÅ
ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5).
                  y1 y2   eλ1 x     eλ2 x
          W (x) = 0 0 =      λ   x      λ   x = (λ2 − λ1)e(λ1 +λ2 )x 6= 0
                  y 1 y2 λ1 e  1
                                   λ2 e   2



(Ô.Ë. λ1 6= λ2 ).
     ÷ ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÆÕÎËÃÉÉ y1 (x) É y2(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ,
Á ÔÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5 (7) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
     2). ðÕÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6) ÉÍÅÅÔ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÉÅ ÄÅÊ-
                                           p2                             p
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ËÏÒÎÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ D =          − 4q = 0 É λ1 = λ2 = − .
                                            4                             2
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 y1 (x) = eλ1 x ¡ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ y2(x) = x · eλ1 x ¡
ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × (5) y = x · eλ1 x ; y 0 = (1 + λ1 x)eλ1 x ;
y 00 = (2λ1 + λ21 x) · eλ1 x , ÐÏÌÕÞÉÍ:
                   eλ1 x · (2λ1 + λ21 x + p + pλ1x + qx) = 0 ÉÌÉ
                  eλ1 x · ((λ21 + pλ1 + q)x + (2λ1 + p)) = 0.
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ λ21 + pλ1 + q = 0 (Ô.Ë. λ1 ¡ ËÏÒÅÎØ
                                                           p
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ) É 2λ1 + p = 0 (Ô.Ë. λ1 = − ).
                                                           2
  éÔÁË, y2 (x) = x · eλ1 x ¡ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
÷ÒÏÎÓËÏÇÏ:
           y1 y2      eλ1 x       xeλ1 x
W (x) =            =                             =
           y10 y20   λ1 eλ1 x (1 + λ1 x)eλ1 x
                                                  = (1 + λ1 x − λ1 x)eλ1 x = eλ1 x 6= 0.
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2 y1 (x) É y2 (x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ, Á ÔÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5 (8)
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
  3). ðÕÓÔØ λ1 = α + iβ É λ2 = α − iβ ¡ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (6). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 y1 = eλ1 x É y2 = eλ2 x ¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ
                                     28

Страницы