Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ
ôÅÏÒÅÍÁ 3. åÓÌÉ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
k
(x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄ-
ÎÏÇÏ ìäõ
a
0
(x)y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + a
n
(x)y = 0,
ÔÏ y(x) = c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x) + . . . + c
k
y
k
(x) Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
c
1
, c
2
, . . ., c
k
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
ôÅÏÒÅÍÁ 4. åÓÌÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ p
1
(x), . . ., p
n
(x) ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ :
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + p
n
(x)y = 0 (3)
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ (a; b) É ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
n
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×É-
ÓÉÍÙ ÎÁ (a; b), ÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÔÌÉÞÅÎ
ÏÔ ÎÕÌÑ ÎÁ (a; b).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. ôÅÏÒÅÍÁ 4 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ y
1
, y
2
, . . ., y
n
,
Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ y
1
,
. . ., y
n
ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 2. ðÕÓÔØ y
1
(x), . . ., y
n
(x) ¡ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) Ó ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÎÁ (a, b) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ É W (x) ¡ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÎÉÈ. éÚ ÔÅÏÒÅÍ 2 É 4 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ W (x) ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ ÎÉ ×
ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (a, b) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
ôÅÏÒÅÍÁ 5 (ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ). åÓÌÉ
ÆÕÎËÃÉÉ y
1
(x), y
2
(x), . . ., y
n
(x) ¡ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÎÁ (a, b) ÒÅÛÅÎÉÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÎÁ (a, b) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
y(x) = c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x) + . . . + c
n
y
n
(x) (4)
(ÇÄÅ c
1
, c
2
, . . ., c
n
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ
2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ:
y
00
+ p(x)y
0
+ q(x)y = 0 (3
0
)
Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÎÁ (a, b) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ p(x) É q(x), ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ
ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: y
1
(x)
É y
2
(x).ôÏÇÄÁ
y(x) = c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x) (4
0
)
26
14. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
    ÎÉÑ
  ôÅÏÒÅÍÁ 3. åÓÌÉ y1 (x), y2 (x), . . ., yk (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄ-
ÎÏÇÏ ìäõ
              a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an (x)y = 0,
ÔÏ y(x) = c1 y1(x) + c2 y2 (x) + . . . + ck yk (x) Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
c1 , c2 , . . ., ck Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
    äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
    ôÅÏÒÅÍÁ 4. åÓÌÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ p1(x), . . ., pn(x) ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ :
                     y (n) + p1(x)y (n−1) + . . . + pn (x)y = 0             (3)
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ (a; b) É ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y1 (x), y2(x), . . ., yn (x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×É-
ÓÉÍÙ ÎÁ (a; b), ÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÔÌÉÞÅÎ
ÏÔ ÎÕÌÑ ÎÁ (a; b).
     úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. ôÅÏÒÅÍÁ 4 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ y1, y2 , . . ., yn ,
Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ y 1 ,
. . ., yn ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ.
     úÁÍÅÞÁÎÉÅ 2. ðÕÓÔØ y1 (x), . . ., yn (x) ¡ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) Ó ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÎÁ (a, b) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ É W (x) ¡ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÎÉÈ. éÚ ÔÅÏÒÅÍ 2 É 4 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ W (x) ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ ÎÉ ×
ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (a, b) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
     ôÅÏÒÅÍÁ 5 (ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ). åÓÌÉ
ÆÕÎËÃÉÉ y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) ¡ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÎÁ (a, b) ÒÅÛÅÎÉÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÎÁ (a, b) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
                   y(x) = c1 y1(x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x)          (4)
(ÇÄÅ c1 , c2 , . . ., cn ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3).
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ
2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ:
                                 y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0             (30)
Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÎÁ (a, b) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ p(x) É q(x), ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ
ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: y 1 (x)
É y2 (x).ôÏÇÄÁ
                        y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2(x)               (40)
                                    26

Страницы