Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 ÆÕÎËÃÉÉ y
3
(x) =
1
2
(y
1
+ y
2
) É y
4
(x) =
1
2i
(y
1
− y
2
) ¡ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ y
3
(x) É y
4
(x):
y
3
(x) =
1
2
(e
λ
1
x
+ e
λ
2
x
) =
1
2
(e
(α+iβ)x
− e
(α−iβ)x
) =
=
e
αx
2
(cos βx + i sin βx + cos βx + i sin(−βx)) = e
αx
cos βx;
y
4
(x) =
1
2i
(y
1
− y
2
) =
1
2i
(e
(α+iβ)x
− e
(α−iβ)x
) = e
αx
sin βx.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ:
W (x) =
y
3
y
4
y
0
3
y
0
4
=
=
e
αx
cos βx e
αx
sin βx
(α cos βx −β sin βx)e
αx
(α sin βx + β cos βx)e
αx
= β
2
e
2αx
6= 0.
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2 y
3
(x) É y
4
(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, Á ÔÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ
5 (9) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y
00
− 3y
0
+ 2y = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: λ
2
−3λ+2 = 0, λ
1
= 2, λ
2
= 1. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (7) ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ:
y = c
1
e
2x
+ c
2
e
x
.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y
00
+ 2y
0
+ y = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: λ
2
+ 2λ + 1 = 0, λ
1
= λ
2
= −1. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (8) ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = c
1
e
−x
+ c
2
xe
−x
.
ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y
00
+ 2y
0
+ 5y = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: λ
2
+ 2λ + 5 = 0, λ
1
= −1 + 2i, λ
2
= −1 −2i. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(9) ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y = e
−x
(c
1
cos 2x + c
2
sin 2x).
16. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
úÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
y
(n)
+ p
1
y
(n−1)
+ p
2
y
(n−2)
+ . . . + p
n
y = 0, (10)
29
                                                    1
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 ÆÕÎËÃÉÉ y3(x) = (y1 + y2 ) É y4(x) =
                                                    2
1
   (y1 − y2) ¡ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5). ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ y3 (x) É y4 (x):
2i
        1                    1
y3 (x) = (eλ1 x + eλ2 x ) = (e(α+iβ)x − e(α−iβ)x ) =
        2                    2
                           αx
                          e
                     =        (cos βx + i sin βx + cos βx + i sin(−βx)) = eαx cos βx;
                           2
                    1                 1
          y4 (x) = (y1 − y2) = (e(α+iβ)x − e(α−iβ)x ) = eαx sin βx.
                    2i                2i
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ:
           y3 y4
W (x) =            =
           y30 y40
                      eαx cos βx                eαx sin βx
           =                                                     = β 2e2αx 6= 0.
               (α cos βx − β sin βx)eαx (α sin βx + β cos βx)eαx
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2 y3(x) É y4(x) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, Á ÔÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ
5 (9) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y 00 − 3y 0 + 2y = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: λ2 −3λ+2 = 0, λ1 = 2, λ2 = 1. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (7) ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ:
                               y = c1 e2x + c2 ex .
   ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y 00 + 2y 0 + y = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: λ2 + 2λ + 1 = 0, λ1 = λ2 = −1. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (8) ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                             y = c1 e−x + c2 xe−x .
   ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y 00 + 2y 0 + 5y = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: λ2 + 2λ + 5 = 0, λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(9) ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                           y = e−x (c1 cos 2x + c2 sin 2x).

16. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó
    ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
   úÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
                    y (n) + p1y (n−1) + p2 y (n−2) + . . . + pn y = 0,          (10)
                                           29

Страницы