Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÇÄÅ p
1
, p
2
, . . ., p
n
¡ ÞÉÓÌÁ, ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÕÞÁÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
λ
n
+ p
1
λ
n−1
+ . . . + p
n
= 0 (11)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍÕ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (10).
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 ÍÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ λ ¡ ËÏÒÅÎØ (11), ÔÏ
y = e
λx
¡ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
úÁÍÅÞÁÎÉÑ. 1) ëÏÒÅÎØ λ = λ
0
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11) ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k, ÅÓÌÉ
P (λ) = λ
n
+ p
1
λ
n−1
+ . . . + p
n
= (λ − λ
0
)
k
Q(λ), Q(λ
0
) 6= 0,
Q(λ) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ.
2) íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ λ = λ
0
¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ P (λ
0
) = 0, P
(i)
(λ
0
) = 0 ÐÒÉ i = 1, . . . , k − 1; P
(k)
(λ
0
) 6= 0, ÇÄÅ
P
(i)
(x) =
d
i
P
dx
i
.
ðÒÉÍÅÒÙ. 1) λ
2
− 2λ + 1 = 0.
ðÏÓËÏÌØËÕ P (λ) = λ
2
−2λ + 1 = (λ −1)
2
, ÔÏ λ = 1 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2.
2) λ
5
+ 3λ
4
+ 3λ
3
+ λ
2
= 0.
ðÏÓËÏÌØËÕ P (λ) = λ
2
(λ + 1)
3
, ÔÏ λ = 0 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, Á λ = −1
¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 3.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10) ÎÁÈÏÄÑÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ 2-ÏÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ.
óÈÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ.
1
◦
. îÁÈÏÄÉÍ ËÏÒÎÉ λ
1
, λ
2
, . . ., λ
n
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11). ó
ÕÞÅÔÏÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (11) ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÒÎÅÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ
ÉÌÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ (ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ).
ðÒÉÍÅÒ 2. λ
5
+ λ
3
= 0 ⇔ λ
3
(λ
2
+ 1) = 0 ⇔ λ
1
= λ
2
= λ
3
= 0, λ
4
= i,
λ
5
= −i. þÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ, ÒÁ×ÎÏÅ ÐÑÔÉ, ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÐÏÒÑÄËÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
2
◦
. ðÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÕ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11) ×ÙÐÉÓÙ×ÁÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ (10):
Á) ëÁÖÄÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÍÕ ËÏÒÎÀ λ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅ-
ÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = e
λx
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
Â) ëÁÖÄÏÊ ÐÁÒÅ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÙÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ-ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ
1
= α+iβ
É λ
2
= α − iβ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Ä×Á ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ: e
αx
cos βx; e
αx
sin βx
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
30
ÇÄÅ p1 , p2 , . . ., pn ¡ ÞÉÓÌÁ, ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÕÞÁÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                             λn + p1λn−1 + . . . + pn = 0                          (11)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍÕ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (10).
   áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6 ÍÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ λ ¡ ËÏÒÅÎØ (11), ÔÏ
y = eλx ¡ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
   úÁÍÅÞÁÎÉÑ. 1) ëÏÒÅÎØ λ = λ0 ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11) ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k, ÅÓÌÉ
         P (λ) = λn + p1λn−1 + . . . + pn = (λ − λ0)k Q(λ),       Q(λ0) 6= 0,
Q(λ) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ.
    2) íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ λ = λ0 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ P (λ0 ) = 0, P (i) (λ0) = 0 ÐÒÉ i = 1, . . . , k − 1; P (k) (λ0 ) 6= 0, ÇÄÅ
            di P
P (i) (x) =      .
            dxi
    ðÒÉÍÅÒÙ. 1) λ2 − 2λ + 1 = 0.
    ðÏÓËÏÌØËÕ P (λ) = λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 , ÔÏ λ = 1 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2.
    2) λ5 + 3λ4 + 3λ3 + λ2 = 0.
    ðÏÓËÏÌØËÕ P (λ) = λ2 (λ + 1)3, ÔÏ λ = 0 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, Á λ = −1
¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 3.
    ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10) ÎÁÈÏÄÑÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ 2-ÏÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ.
            óÈÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
                              ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ.
1◦. îÁÈÏÄÉÍ ËÏÒÎÉ λ1 , λ2 , . . ., λn ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11). ó
ÕÞÅÔÏÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (11) ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÒÎÅÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ
ÉÌÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ (ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ).
    ðÒÉÍÅÒ 2. λ5 + λ3 = 0 ⇔ λ3 (λ2 + 1) = 0 ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = 0, λ4 = i,
λ5 = −i. þÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ, ÒÁ×ÎÏÅ ÐÑÔÉ, ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÐÏÒÑÄËÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
2◦. ðÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÕ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (11) ×ÙÐÉÓÙ×ÁÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ (10):
    Á) ëÁÖÄÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÍÕ ËÏÒÎÀ λ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅ-
ÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = eλx ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
    Â) ëÁÖÄÏÊ ÐÁÒÅ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÙÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ-ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ1 = α+iβ
É λ2 = α − iβ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Ä×Á ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ: eαx cos βx; eαx sin βx
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
                                        30

Страницы