Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ
1
◦
λ
1
6= λ
2
, λ
1
, λ
2
∈ R y = c
1
e
λ
1
x
+ c
2
e
λ
2
x
2
◦
λ
1
= λ
2
, λ
1
, λ
2
∈ R y = (c
1
+ c
2
x)e
λ
1
x
3
◦
λ
1
= α + iβ ∈ C
λ
2
= α − iβ ∈ C
y = e
αx
(c
1
cos βx + c
2
sin βx)
R ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; C ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
(n)
+ p
1
y
(n−1)
+ p
2
y
(n−2)
+ . . . + p
n
y = 0
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
λ
n
+ p
1
λ
n−1
+ . . . + p
n
= 0.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ:
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ËÏÒÎÉ λ
i
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k
i
, i = 1, . . . , s;
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ-ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÅ α
j
± iβ
j
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m
j
, j = 1, 2, . . . , t.
k
1
+ k
2
+ . . . + k
s
+ 2(m
1
+ m
2
+ . . . + m
t
) = n.
ëÏÒÎÉ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
1. λ
i
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k
i
λ
i
∈ R
i = 1, 2, . . . , s
y
i
(x) = (c
1
+ c
2
x + . . . +
c
k
i
−1
x
k
i
−1
)e
λ
i
x
i = 1, 2, . . . , s
y(x) = y
1
+ y
2
+ . . .
2. ðÁÒÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ
ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ
α
j
±iβ
j
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m
j
,
j = 1, 2, . . . , t
y
j
(x) = e
α
i
x
((“c
1
+ “c
2
x +
. . . + “c
m
j
−1
x
m
j
−1
)·
·cos β
j
x + (^c
1
+ ^c
2
x +
. . . + ^c
m
j
−1
x
m
j
−1
)·
·sin β
j
x
j = 1, 2, . . . , t
. . . + y
s
+ y
1
+
+y
2
+ . . . + y
t
17. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
y
n
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ p
2
(x)y
(n−2)
+ . . . + p
n
(x)y = f(x) (12)
ÐÒÉ n = 2:
y
00
+ p(x)y
0
+ q(x)y = f(x), (12
0
)
ÇÄÅ p
1
(x), p
2
(x), . . ., p
n
(x), f(x), p(x), q(x) ¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ÎÁ (a; b).
32
        ëÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ     ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ
      1 λ1 6= λ2 , λ1 , λ2 ∈ R
          ◦
                                         y = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x
      2◦ λ1 = λ 2 , λ1 , λ2 ∈ R          y = (c1 + c2 x)eλ1 x
      3◦ λ1 = α + iβ ∈ C            y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)
          λ2 = α − iβ ∈ C
R ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; C ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
  äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                      y (n) + p1y (n−1) + p2y (n−2) + . . . + pny = 0
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                              λn + p1λn−1 + . . . + pn = 0.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ:
           ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ËÏÒÎÉ λi ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ki , i = 1, . . . , s;
      ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ-ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÅ αj ± iβj ËÒÁÔÎÏÓÔÉ mj , j = 1, 2, . . . , t.
              k1 + k2 + . . . + ks + 2(m1 + m2 + . . . + mt ) = n.
              ëÏÒÎÉ
     ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ             þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ               ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
          ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
  1. λi ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ki           yi (x) = (c1 + c2 x + . . . + y(x) = y1 + y2 + . . .
  λi ∈ R                       cki −1 xki −1)eλi x
  i = 1, 2, . . . , s          i = 1, 2, . . . , s
  2. ðÁÒÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ           yj (x) = eαi x ((“ c1 + c“2 x + . . . + ys + y1 +
                                                mj −1
  ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ           . . . + c“mj −1x       )·        + y2 + . . . + yt
  αj ± iβj ËÒÁÔÎÏÓÔÉ mj ,      · cos βj x + (^   c1 + c^2 x +
                                                mj −1
  j = 1, 2, . . . , t          . . . + c^mj −1x       )·
                               · sin βj x
                               j = 1, 2, . . . , t

17. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
                y n + p1(x)y (n−1) + p2(x)y (n−2) + . . . + pn (x)y = f (x)           (12)
ÐÒÉ n = 2:
                                 y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x),               (120)
ÇÄÅ p1 (x), p2 (x), . . ., pn (x), f (x), p(x), q(x) ¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ÎÁ (a; b).
                                                 32

Страницы