Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ(x), ψ(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÔ x. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ c
1
(x) É c
2
(x),
Á ÚÁÔÅÍ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (15) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12
0
).
ðÒÉÍÅÒ. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
− 2y
0
+ y =
e
x
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ: y
00
−2y
0
+ y = 0. éÍÅÅÍ: λ
2
−2λ + 1 = 0, λ
1
= λ
2
= 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
y = (c
1
+ c
2
x)e
x
. îÁÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
∗
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ïÎÏ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ: y
∗
= c
1
(x)e
x
+ c
2
(x)xe
x
. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ c
1
(x) É c
2
(x)
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (18)
(
c
0
1
(x) · e
x
+ c
0
2
(x) · xe
x
= 0,
c
0
1
(x) · e
x
+ c
0
2
(x)(1 + x)e
x
=
e
x
x
.
òÅÛÁÅÍ ÅÅ: – =
e
x
xe
x
e
x
(1 + x)e
x
= e
2x
;
–
1
=
0 xe
x
e
x
x
(1 + x)e
x
= −e
2x
; –
2
=
e
x
0
e
x
e
x
x
=
e
2x
x
;
c
0
1
(x) =
–
1
–
= −1; c
0
2
(x) =
–
2
–
=
1
x
.
c
1
(x) =
Z
(−1) dx = −x + “c
1
; c
2
(x) =
Z
1
x
dx = ln |x|+ “c
2
.
äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÈ: c
1
(x) = −x; c
2
(x) = ln |x|. úÁÍÅ-
ÎÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: y
∗
= −xe
x
+ x ln |x|e
x
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y(x) = y + y
∗
= (c
1
+ c
2
x − x + x ln |x|)e
x
.
äÌÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (12) ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
∗
(x), ÁÎÁÌÏ-
ÇÉÞÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ. ïÎÏ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
y
∗
= c
1
(x)y
1
(x) + c
2
(x)y
2
(x) + . . . + c
n
(x)y
n
(x),
ÇÄÅ y
i
(x), i = 1, . . . , n ¡ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13).
34
ϕ(x), ψ(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÔ x. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ c1 (x) É c2 (x),
Á ÚÁÔÅÍ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (15) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (120).
   ðÒÉÍÅÒ. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                                           ex
                                  y 00 − 2y 0 + y =           .
                                                           x
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ: y 00 − 2y 0 + y = 0. éÍÅÅÍ: λ2 − 2λ + 1 = 0, λ1 = λ2 = 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
y = (c1 + c2 x)ex . îÁÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ∗ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ïÎÏ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ: y ∗ = c1 (x)ex + c2 (x)xex. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ c1 (x) É c2 (x)
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (18)
                      (
                          c01 (x) · ex + c02 (x) · xex = 0,
                                                                ex
                          c01 (x) · ex   +   c02 (x)(1 +   x)e = .x
                                                                x
               ex   xex
òÅÛÁÅÍ ÅÅ: – = x           = e2x ;
               e (1 + x)ex

                   0        xex                       ex 0        e2x
                    x                   2x                  x
             –1 = e                 = −e ; –2 = x e =                 ;
                         (1 + x)ex                    e            x
                   x                                       x
                               –1                  –2     1
                    c01 (x) =      = −1; c02 (x) =     = .
                 Z              –                  Z–     x
                                                      1
         c1 (x) = (−1) dx = −x + c“1 ; c2 (x) =         dx = ln |x| + c“2 .
                                                      x

äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÈ: c1 (x) = −x; c2 (x) = ln |x|. úÁÍÅ-
ÎÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: y ∗ = −xex + x ln |x|ex . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                  y(x) = y + y ∗ = (c1 + c2 x − x + x ln |x|)ex .

  äÌÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (12) ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ∗ (x), ÁÎÁÌÏ-
ÇÉÞÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ. ïÎÏ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:

                y ∗ = c1 (x)y1(x) + c2 (x)y2(x) + . . . + cn (x)yn(x),

ÇÄÅ yi (x), i = 1, . . . , n ¡ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13).
                                           34

Страницы