Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÏÖÉÄÁÅÍÕÀ ÆÏÒÍÕ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ,
ÚÁÔÅÍ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÅÅ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (19) É ÉÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÎÁÈÏÄÑÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
÷ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉÃÅ × ÇÒÁÆÅ 1 ÕËÁÚÁÎ ×ÉÄ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ f(x), ×
ÇÒÁÆÅ 2 ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ n > 2, × ÇÒÁÆÅ 3 ¡ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ f (x)
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
∗
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
(n)
+ p
1
y
(n−1)
+ . . . + p
n
y =
f(x)
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
∗
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
00
+ py
0
+ qy = f(x)
I. e
αx
P
k
(x), ÇÄÅ P
k
(x) =
a
0
x
k
+ . . . + a
k
¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
k-ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÏÔ x
y
∗
(x) = x
r
P
∗
k
(x)e
αx
, ÇÄÅ
P
∗
k
(x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ k-ÔÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ; ÞÉÓÌÏ r
ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ α
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ (× ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ α ÎÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅ-
ÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ,
ÓÞÉÔÁÅÍ r = 0)
á. y
∗
(x) = e
αx
P
∗
k
(x), ÅÓÌÉ
ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
ÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÒÁ-
×ÅÎ α.
â. y
∗
(x) = xe
αx
P
∗
k
(x), ÅÓ-
ÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ α.
÷. y
∗
(x) = x
2
e
αx
P
∗
k
(x), ÅÓ-
ÌÉ ÏÂÁ ËÏÒÎÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-
ÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ α.
(÷Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ á, â, ÷
P
∗
k
(x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ
k Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ.)
II e
αx
(P
k
(x) cos βx +
Q
m
(x) sin βx)
P
k
(x) Q
m
(x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
ÓÔÅÐÅÎÉ k, m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ
y
∗
(x) = x
r
(P
∗
l
(x) cos βx +
Q
∗
l
(x) sin βx)e
αx
, ÇÄÅ P
∗
l
, Q
∗
l
¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ó ÎÅÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
ÓÔÅÐÅÎÉ l = max(k, m); ÞÉ-
ÓÌÏ r ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ
α+iβ (ÉÌÉ α− iβ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
ÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (× ÓÌÕ-
ÞÁÅ, ÅÓÌÉ α ± iβ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÞÉÔÁÅÍ r = 0)
á. y
∗
(x) = (P
∗
l
(x) cos βx +
Q
∗
l
(x) sin βx)e
αx
, ÅÓÌÉ ËÏÒÎÉ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ α ± iβ, l =
max(k, m)
â. y
∗
(x) =
x(P
∗
l
(x) cos βx+
Q
∗
(x) sin βx)e
αx
, ÅÓÌÉ ËÏÒÎÉ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ α ± iβ.
III f
1
(x) + f
2
(x) + . . . + f
m
(x)
f
i
(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ I ÉÌÉ
II
y
∗
(x) = “y
1
+ “y
2
+ . . . + “y
m
, ÇÄÅ “y
i
¡ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ: y
(n)
+ p
1
y
(n−1)
+ . . . + p
n
y = f
i
(x), i = 1, 2, . . . , m
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
00
+ 2y
0
= x + 1, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ
ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(0) = 0, y
0
(0) = 1.
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ìäõ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ-
ÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ
2
+ 2λ = 0 ÉÍÅÅÔ ËÏÒ-
ÎÉ λ
1
= 0 É λ
2
= −2. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ e
αx
P
n
(x), α = 0, P
n
(x) = x + 1
¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 1-ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓËÁÔØ × ×ÉÄÅ:
36
ÏÖÉÄÁÅÍÕÀ ÆÏÒÍÕ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ,
ÚÁÔÅÍ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÅÅ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (19) É ÉÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÎÁÈÏÄÑÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
   ÷ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉÃÅ × ÇÒÁÆÅ 1 ÕËÁÚÁÎ ×ÉÄ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ f (x), ×
ÇÒÁÆÅ 2 ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ n > 2, × ÇÒÁÆÅ 3 ¡ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
        ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ f (x)                   þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ∗                 þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ∗
                                                  ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                             ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                       y (n) + p1 y (n−1) + . . . + pn y =       y 00 + py 0 + qy = f (x)
                                                      f (x)

  I. eαx Pk (x), ÇÄÅ Pk (x) = y ∗ (x) = xr Pk∗ (x)eαx , ÇÄÅ                  á. y ∗ (x) = eαx Pk∗ (x), ÅÓÌÉ
  a0 xk + . . . + ak ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pk∗ (x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ k-ÔÏÊ                   ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
  k-ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÏÔ x              ÓÔÅÐÅÎÉ Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ                   ÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÒÁ-
                                 ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ; ÞÉÓÌÏ r                     ×ÅÎ α.
                                 ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ α                     â. y ∗ (x) = xeαx Pk∗ (x), ÅÓ-
                                 ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×-                   ÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ
                                 ÎÅÎÉÑ (× ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ α ÎÅ                  ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
                                 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅ-                    ÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ α.
                                 ÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ     ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ,                 ÷. y ∗ (x) = x2 eαx Pk∗ (x), ÅÓ-
                                 ÓÞÉÔÁÅÍ r = 0)                              ÌÉ ÏÂÁ ËÏÒÎÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-
                                                                             ÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ α.
                                                                             (÷Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ á, â, ÷
                                                                             Pk∗ (x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ
                                                                             k Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
                                                                             ÃÉÅÎÔÁÍÉ.)
  II      eαx (Pk (x) cos βx +         y ∗ (x) = xr (Pl∗ (x) cos βx +        á. y ∗ (x) = (Pl∗ (x) cos βx +
  Qm (x) sin βx)                       Q∗l (x) sin βx)eαx , ÇÄÅ Pl∗ , Q∗l    Q∗l (x) sin βx)eαx , ÅÓÌÉ ËÏÒÎÉ
  Pk (x) Qm (x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ           ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ó ÎÅÏÐÒÅ-                ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
  ÓÔÅÐÅÎÉ k, m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ          ÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ              ÎÉÑ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ α ± iβ, l =
                                       ÓÔÅÐÅÎÉ l = max(k, m); ÞÉ-            max(k, m)
                                       ÓÌÏ r ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ           â. y ∗ (x) =
                                       α+iβ (ÉÌÉ α−iβ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-            x(Pl∗ (x) cos βx+
                                       ÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (× ÓÌÕ-          Q∗ (x) sin βx)eαx , ÅÓÌÉ ËÏÒÎÉ
                                       ÞÁÅ, ÅÓÌÉ α ± iβ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ          ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
                                       ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ            ÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ α ± iβ.
                                       ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÞÉÔÁÅÍ r = 0)
  III f1 (x) + f2 (x) + . . . + fm (x) y ∗ (x) = y“1 + y“2 + . . . + y“m , ÇÄÅ y“i ¡ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×-
  fi (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ I ÉÌÉ ÎÅÎÉÑ: y (n) + p1 y (n−1) + . . . + pn y = fi (x), i = 1, 2, . . . , m
  II
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 00 + 2y 0 = x + 1, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ
ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
   òÅÛÅÎÉÅ. úÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ìäõ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ-
ÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ2 + 2λ = 0 ÉÍÅÅÔ ËÏÒ-
ÎÉ λ1 = 0 É λ2 = −2. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ eαx Pn (x), α = 0, Pn (x) = x + 1
¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 1-ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓËÁÔØ × ×ÉÄÅ:
                                     36

Страницы