Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

óÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ c
0
i
(x) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
c
0
1
y
1
+ c
0
2
y
2
+ c
0
3
y
3
+ . . . + c
0
n
y
n
= 0,
c
0
1
y
0
1
+ c
0
2
y
0
2
+ c
0
3
y
0
3
+ . . . + c
0
n
y
0
n
= 0,
c
0
1
y
00
1
+ c
0
2
y
00
2
+ c
0
3
y
00
3
+ . . . + c
0
n
y
00
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
0
1
y
(n−1)
1
+ c
0
2
y
(n−1)
2
+ c
0
3
y
(n−1)
3
+ . . . + c
0
n
y
(n−1)
n
= f(x).
ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ¡ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ y
1
, y
2
,
. . ., y
n
, ÏÎ ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ × ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ y
1
, y
2
, . . ., y
n
.
ðÏÜÔÏÍÕ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
ðÒÉ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ìäõ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏ-
ÌÅÚÎÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ:
ôÅÏÒÅÍÁ 9. åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍ-
ÍÕ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ f(x) = f
1
(x) + f
2
(x), Á y
∗
1
É y
∗
2
¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÊ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ (12), Á ÐÒÁ×ÁÑ
ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó f
1
(x) É f
2
(x), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y
∗
= y
∗
1
+ y
∗
2
Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
19. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ-
ÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ É ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ
×ÉÄÁ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
y
(n)
+ p
1
y
(n−1)
+ p
2
y
(n−2)
+ . . . + p
n
y = f(x), (19)
p
i
, i = 1, . . . , n ¡ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 8 ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ
ÓÕÍÍÕ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÞÁÓÔ-
ÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y
∗
ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19)
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ.
äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ (19) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ
ÐÒÏÓÔÏÊ ÓÐÏÓÏÂ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ y
∗
, ÅÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ f(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÉÍÅÅÔ
ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÊ ×ÉÄ:
I f(x) = P
n
(x)e
αx
ÉÌÉ
II f(x) = e
αx
(P
n
(x) cos βx + Q
m
(x) sin βx) (P
n
(x), Q
m
(x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
ÓÔÅÐÅÎÉ n, m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ)
III f(x) ¡ ÓÕÍÍÁ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ I É II.
óÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×, ÓÏ-
ÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÐÏ ×ÉÄÕ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ f(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÚÁÐÉÓÙ×ÁÀÔ
35
  óÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ c0i (x) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
          0
         
          c1 y1 + c02 y2 + c03 y3 + . . . + c0n yn = 0,
         
            0 0       0 0        0 0                0 0
          c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + . . . + cn yn = 0,
           c01 y100 + c02 y200 + c03 y300 + . . . + c0n yn00 = 0,
         
          ...................................................
         
         
          0 (n−1)              (n−1)             (n−1)                (n−1)
           c1 y1        + c02 y2          + c03 y3      + . . . + c0n yn     = f (x).
ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ¡ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ y 1 , y2 ,
. . ., yn , ÏÎ ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ × ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ y1, y2, . . ., yn .
ðÏÜÔÏÍÕ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
     ðÒÉ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ìäõ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏ-
ÌÅÚÎÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ:
     ôÅÏÒÅÍÁ 9. åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍ-
ÍÕ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ f (x) = f1(x) + f2(x), Á y1∗ É y2∗ ¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÊ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ (12), Á ÐÒÁ×ÁÑ
ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó f1(x) É f2(x), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y ∗ = y1∗ + y2∗ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.


19. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ-
    ÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ É ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ
    ×ÉÄÁ
  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ
                    y (n) + p1y (n−1) + p2y (n−2) + . . . + pny = f (x),                (19)
pi, i = 1, . . . , n ¡ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.
    óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 8 ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ
ÓÕÍÍÕ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÞÁÓÔ-
ÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y ∗ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19)
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ.
    äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ (19) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ
ÐÒÏÓÔÏÊ ÓÐÏÓÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ y ∗ , ÅÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ f (x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÉÍÅÅÔ
ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÊ ×ÉÄ:
    I f (x) = Pn (x)eαx ÉÌÉ
    II f (x) = eαx (Pn (x) cos βx + Qm (x) sin βx) (Pn (x), Qm (x) ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
ÓÔÅÐÅÎÉ n, m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ)
    III f (x) ¡ ÓÕÍÍÁ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ I É II.
    óÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×, ÓÏ-
ÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÐÏ ×ÉÄÕ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ f (x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÚÁÐÉÓÙ×ÁÀÔ
                                         35

Страницы