Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÅÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ p
2
(x)y
(n−2)
+ . . . + p
n
(x)y = 0, (13)
Á ÐÒÉ n = 2:
y
00
+ p(x)y
0
+ q(x)y = 0. (13
0
)
ôÅÏÒÅÍÁ 8. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍ-
ÍÅ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y
∗
ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÅÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, Ô.Å.
y = y
∗
+ y. (14)
18. íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (12
0
). åÇÏ ÏÂÝÉÍ
ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ (14), Ô.Å.
y = y
∗
+ y.
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y
∗
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12
0
) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13
0
) ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÊ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ. ðÕÓÔØ
y = c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x)
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13
0
). úÁÍÅÎÉÍ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ
c
1
, c
2
ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ c
1
(x) É c
2
(x) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ
y
∗
= c
1
(x)y
1
(x) + c
2
(x)y
2
(x) (15)
ÂÙÌÁ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12
0
). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ × (12
0
), ÐÏÌÁÇÁÑ
c
0
1
(x)y
1
(x) + c
0
2
(x)y
2
(x) = 0. (16)
ðÏÓÌÅ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÙËÌÁÄÏË ÐÏÌÕÞÉÍ
c
0
1
(x)y
0
1
(x) + c
2
(x)
0
y
0
2
(x) = f(x). (17)
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ (15) ÂÕÄÅÔ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ y
∗
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (12
0
),
ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ c
1
(x) É c
2
(x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (16) É (17):
c
0
1
(x)y
1
(x) + c
0
2
(x)y
2
(x) = 0
c
0
1
(x)y
0
1
(x) + c
0
2
(x)y
0
2
(x) = f(x).
(18)
ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ
y
1
(x) y
2
(x)
y
0
1
(x) y
0
2
(x)
6= 0, Ô.Ë. ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ
ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ y
1
(x) É y
2
(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (13
0
). ðÏÜÔÏÍÕ
ÓÉÓÔÅÍÁ (18) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: c
0
1
(x) = ϕ(x) É c
0
2
(x) = ψ(x), ÇÄÅ
33
  óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÅÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
               y (n) + p1 (x)y (n−1) + p2 (x)y (n−2) + . . . + pn (x)y = 0,   (13)
Á ÐÒÉ n = 2:
                         y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0.              (130)
  ôÅÏÒÅÍÁ 8. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ìäõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍ-
ÍÅ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y ∗ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÅÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, Ô.Å.
                                      y = y ∗ + y.                           (14)

18. íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ
  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (120). åÇÏ ÏÂÝÉÍ
ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ (14), Ô.Å.
                                      y = y ∗ + y.
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y ∗ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (120) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (130) ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÊ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ. ðÕÓÔØ
                                y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (130). úÁÍÅÎÉÍ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ
c1 , c2 ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ c1 (x) É c2 (x) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ
                            y ∗ = c1 (x)y1(x) + c2 (x)y2(x)                   (15)
ÂÙÌÁ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (120). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ × (120), ÐÏÌÁÇÁÑ
                            c01 (x)y1(x) + c02 (x)y2(x) = 0.                  (16)
ðÏÓÌÅ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÙËÌÁÄÏË ÐÏÌÕÞÉÍ
                          c01 (x)y10 (x) + c2 (x)0y20 (x) = f (x).            (17)
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ (15) ÂÕÄÅÔ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ y ∗ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (120),
ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ c1 (x) É c2 (x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (16) É (17):
                      0
                        c1 (x)y1(x) + c02 (x)y2(x) = 0
                                                                      (18)
                        c01 (x)y10 (x) + c02 (x)y20 (x) = f (x).
                        y1 (x) y2(x)
ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ                      6= 0, Ô.Ë. ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÒÏÎÓËÏÇÏ
                        y10 (x) y20 (x)
ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ y1 (x) É y2 (x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (130). ðÏÜÔÏÍÕ
ÓÉÓÔÅÍÁ (18) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: c01 (x) = ϕ(x) É c02 (x) = ψ(x), ÇÄÅ
                                        33

Страницы