Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

×) ëÁÖÄÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍÕ ËÏÒÎÀ λ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ k ÞÁÓÔ-
ÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ:
e
λx
; x · e
λx
; x
2
e
λx
; . . . ; x
k−1
e
λx
,
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ.
Ç) ëÁÖÄÏÊ ÐÁÒÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ
1
= α+iβ É λ
2
= α−iβ
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ 2m ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ
e
αx
cos βx; x · e
αx
cos βx; . . . ; x
m−1
e
αx
cos βx;
e
αx
sin βx; x · e
αx
sin βx; . . . ; x
m−1
e
αx
sin βx.
3
◦
. þÉÓÌÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10)
ÒÁ×ÎÏ ÐÏÒÑÄËÕ n ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ y
1
,
. . ., y
n
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ y(x) =
c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x) + . . . + c
n
y
n
(x) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
ðÒÉÍÅÒ. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
y
VII
− 3y
VI
+ 5y
V
− 7y
IV
+ 7y
000
− 5y
00
+ 3y
0
− y = 0.
óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
λ
7
− 3λ
6
+ 5λ
5
− 7λ
4
+ 7λ
3
− 5λ
2
+ 3λ − 1 = 0.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ P(λ). ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ P (1) =
0, Ô.Å. λ = 1 ¡ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, P (1) =
P
0
(1) = P
00
(1) = 0, P
000
(1) 6= 0 (ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ
λ = 1), ÐÏÜÔÏÍÕ λ = 1 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 3. äÅÌÉÍ P (λ) ÎÁ (λ − 1)
3
,
ÐÏÌÕÞÁÅÍ
(λ − 1)
3
(λ
2
+ 1)
2
= 0 ⇔ λ
1
= λ
2
= λ
3
= 1; λ
4
= λ
5
= i; λ
6
= λ
7
= −i.
ëÏÒÎÀ λ = 1 ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 3 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÉ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ: y
1
(x) = e
x
;
y
2
(x) = xe
x
; y
3
(x) = x
2
e
x
. ëÏÍÐÌÅËÓÎÏ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ ËÏÒÎÑÍ λ = ±i ËÒÁÔ-
ÎÏÓÔÉ 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ y
4
(x) = cos x; y
5
= x cos x;
y
6
(x) = sin x; y
7
(x) = x sin x. ÷ÓÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y(x) = (c
1
+ c
2
x + c
3
x
2
) · e
x
+ (c
4
+ c
5
x) cos x + (c
6
+ c
7
x) sin x.
éÔÁË, ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y
00
+ py
0
+ qy = 0
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ
2
+ pλ + q = 0 É ÎÁÈÏÄÉÍ ÅÇÏ
ËÏÒÎÉ λ
1
, λ
2
.
31
  ×) ëÁÖÄÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍÕ ËÏÒÎÀ λ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ k ÞÁÓÔ-
ÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ:
                     eλx ; x · eλx ; x2eλx ; . . . ; xk−1eλx ,
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ.
  Ç) ëÁÖÄÏÊ ÐÁÒÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ1 = α+iβ É λ2 = α−iβ
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ 2m ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ
                  eαx cos βx; x · eαx cos βx; . . . ; xm−1eαx cos βx;
                  eαx sin βx; x · eαx sin βx; . . . ; xm−1eαx sin βx.
3◦. þÉÓÌÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10)
ÒÁ×ÎÏ ÐÏÒÑÄËÕ n ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ y 1 ,
. . ., yn ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ y(x) =
c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (10).
     ðÒÉÍÅÒ. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
             y VII − 3y VI + 5y V − 7y IV + 7y 000 − 5y 00 + 3y 0 − y = 0.
óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                λ7 − 3λ6 + 5λ5 − 7λ4 + 7λ3 − 5λ2 + 3λ − 1 = 0.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ P (λ). ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ P (1) =
0, Ô.Å. λ = 1 ¡ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, P (1) =
P 0 (1) = P 00 (1) = 0, P 000 (1) 6= 0 (ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ
λ = 1), ÐÏÜÔÏÍÕ λ = 1 ¡ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 3. äÅÌÉÍ P (λ) ÎÁ (λ − 1)3,
ÐÏÌÕÞÁÅÍ
    (λ − 1)3(λ2 + 1)2 = 0 ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = 1; λ4 = λ5 = i; λ6 = λ7 = −i.
ëÏÒÎÀ λ = 1 ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 3 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÉ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ: y1(x) = ex ;
y2 (x) = xex ; y3 (x) = x2ex . ëÏÍÐÌÅËÓÎÏ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ ËÏÒÎÑÍ λ = ±i ËÒÁÔ-
ÎÏÓÔÉ 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ y4 (x) = cos x; y5 = x cos x;
y6 (x) = sin x; y7(x) = x sin x. ÷ÓÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
       y(x) = (c1 + c2 x + c3 x2) · ex + (c4 + c5 x) cos x + (c6 + c7 x) sin x.
  éÔÁË, ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                 y 00 + py 0 + qy = 0
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ2 + pλ + q = 0 É ÎÁÈÏÄÉÍ ÅÇÏ
ËÏÒÎÉ λ1 , λ2 .
                                 31

Страницы