Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
∗
= x(Ax + B) (λ = 0 ¡ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ
1). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
(y
∗
)
0
= 2Ax + B; (y
∗
)
00
= 2A; 2A + 4Ax + 2B = x + 1.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ x:
4A = 1
2A + 2B = 1
.
ïÔËÕÄÁ A =
1
4
, B =
1
4
; y
∗
=
1
4
(x + 1)x. ôÁË ËÁË ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÅÓÔØ y = c
1
+ c
2
e
−2x
, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ
y = c
1
+ c
2
e
−2x
+
1
4
(x + 1)x.
îÁÊÄÅÍ c
1
É c
2
ÐÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. ôÁË ËÁË y(0) = 0, ÔÏ ÉÚ ÏÂÝÅ-
ÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÍ c
1
+ c
2
= 0. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ:
y
0
= −2c
2
e
−2x
+
x
2
+
1
4
. éÓÐÏÌØÚÕÑ ×ÔÏÒÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
1 = −2c
2
+
1
4
, ÏÔËÕÄÁ c
2
= −
3
8
; c
1
=
3
8
. þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y =
3
8
(1 −e
−2x
) +
1
4
(x + 1)x.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
00
− 4y
0
+ 3y = x sin x.
òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ f(x) = x sin x, Ô.Å. α = 0, P
n
(x) = 0, Q
m
(x) = x, n = 0,
m = 1.
èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ
2
− 4λ + 3 = 0 ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ λ
1
= 3,
λ
2
= 1. ôÁË ËÁË ÞÉÓÌÁ α±iβ = ±i ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉÃÕ)
y
∗
= (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x.
úÄÅÓØ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÒÁ×ÎÁ 1 =
max(n, m) = max(0; 1). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ (y
∗
)
0
É (y
∗
)
00
É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
× ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ sin x É ÐÒÉ cos x,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÍ:
A =
1
5
; B =
11
50
; C =
1
10
; D = −
1
25
.
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: y
∗
=
1
50
((10x + 11) cos x + (5x − 2) sin x). ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y = c
1
e
3x
+ c
2
e
x
+
1
50
((10x + 11) cos x + (5x − 2) sin x).
37
y ∗ = x(Ax + B) (λ = 0 ¡ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ
1). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
          (y ∗)0 = 2Ax + B;   (y ∗)00 = 2A; 2A + 4Ax + 2B = x + 1.
                                                             
                                                                4A = 1
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ x:                         .
                                                                2A + 2B = 1
              1       1         1
ïÔËÕÄÁ A = , B = ; y ∗ = (x + 1)x. ôÁË ËÁË ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔ-
              4       4         4
ÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÅÓÔØ y = c1 + c2 e−2x , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ
                                           1
                         y = c1 + c2 e−2x + (x + 1)x.
                                           4
îÁÊÄÅÍ c1 É c2 ÐÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. ôÁË ËÁË y(0) = 0, ÔÏ ÉÚ ÏÂÝÅ-
ÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÍ c1 + c2 = 0. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ:
                  x     1
y 0 = −2c2 e−2x + + . éÓÐÏÌØÚÕÑ ×ÔÏÒÏÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                  2     4
            1                 3        3
1 = −2c2 + , ÏÔËÕÄÁ c2 = − ; c1 = . þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
            4
ÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ          8
                       ÎÁÞÁÌØÎÙÍ       8
                                     ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                            3               1
                        y = (1 − e−2x ) + (x + 1)x.
                            8               4
    ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 00 − 4y 0 + 3y = x sin x.
    òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ f (x) = x sin x, Ô.Å. α = 0, Pn (x) = 0, Qm (x) = x, n = 0,
m = 1.
    èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ2 − 4λ + 3 = 0 ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ λ1 = 3,
λ2 = 1. ôÁË ËÁË ÞÉÓÌÁ α±iβ = ±i ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉÃÕ)
                    y ∗ = (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x.
úÄÅÓØ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÒÁ×ÎÁ 1 =
max(n, m) = max(0; 1). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ (y ∗ )0 É (y ∗)00 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
× ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ sin x É ÐÒÉ cos x,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÍ:
                        1           11          1            1
                   A= ; B= ; C= ; D=− .
                        5           50         10            25
                           1
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: y ∗ =        ((10x + 11) cos x + (5x − 2) sin x). ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                          50
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                  1
           y = c1 e3x + c2 ex +     ((10x + 11) cos x + (5x − 2) sin x).
                                 50
                                         37

Страницы