Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ:
dx
dt
= u
dy
dt
= v
dz
dt
= w
du
dt
= F
1
(x; y; z; t; u; v; w)
dv
dt
= F
2
(x; y; z; t; u; v; w)
dw
dt
= F
3
(x; y; z; t; u; v; w).
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y
000
= f(x; y; y
0
; y
00
) ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ y
00
= u
0
= v
Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ äõ:
y
0
= u
u
0
= v
v
0
= f(x; y; u; v)
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÉÚ n
ÆÕÎËÃÉÊ y
1
, y
2
, . . ., y
n
, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.
îÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (1) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
y
1
(x
0
) = y
0
1
; y
2
(x
0
) = y
0
2
; . . . ; y
n
(x
0
) = y
0
n
(21)
úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (20) ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁÊÔÉ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (20), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (21).
òÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (20), ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ n ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ:
y
1
= ϕ
1
(x; c
1
, c
2
, . . . , c
n
), . . . , y
n
= ϕ
n
(x; c
1
, . . . , c
n
)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ, ÅÓÌÉ ÐÏ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (21) ÍÏÖÎÏ ÏÄ-
ÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ c
1
, c
2
, . . ., c
n
ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
ϕ
1
(x; c
1
, c
2
, . . . , c
n
) = y
0
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕ
n
(x; c
1
, c
2
, . . . , c
n
) = y
0
n
òÅÛÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÀÝÅÅÓÑ ÉÚ ÏÂÝÅÇÏ ÐÒÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ c
1
, c
2
, . . .,
c
n
, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (20).
39
ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ:
                     
                       dx
                     
                          =u
                     
                       dt
                     
                       dy
                     
                          =v
                     
                       dt
                     
                     
                      dz = w
                     
                        dt
                       du
                     
                          = F1(x; y; z; t; u; v; w)
                     
                       dt
                     
                       dv
                     
                          = F2(x; y; z; t; u; v; w)
                     
                     
                     
                       dt
                     
                      dw = F (x; y; z; t; u; v; w).
                               3
                        dt
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y 000 = f (x; y; y 0; y 00) ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ y 00 = u0 = v
Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ äõ:
                           0
                          y =u
                            u0 = v
                           0
                            v = f (x; y; u; v)

  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÉÚ n
ÆÕÎËÃÉÊ y1, y2 , . . ., yn , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.
  îÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (1) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ

                    y1(x0) = y10 ;      y2(x0) = y20 ; . . . ; yn(x0) = yn0            (21)

  úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (20) ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁÊÔÉ ÒÅ-
ÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (20), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (21).
  òÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (20), ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ n ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ:

               y1 = ϕ1(x; c1, c2, . . . , cn ), . . . , yn = ϕn (x; c1, . . . , cn )

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ, ÅÓÌÉ ÐÏ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (21) ÍÏÖÎÏ ÏÄ-
ÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ c1 , c2 , . . ., cn ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
                       
                        ϕ1 (x; c1, c2 , . . . , cn ) = y10
                         .......................
                       
                         ϕn (x; c1, c2, . . . , cn ) = yn0

òÅÛÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÀÝÅÅÓÑ ÉÚ ÏÂÝÅÇÏ ÐÒÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ c1 , c2 , . . .,
cn , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (20).
                                  39

Страницы