Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÞÅÒÅÚ x, ÆÕÎËÃÉÀ y
1
É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y
0
1
, y
00
1
, . . ., y
(n−1)
1
y
2
= ϕ
2
(x, y
1
, y
0
1
, . . . , y
(n−1)
1
)
y
3
= ϕ
3
(x, y
1
, y
0
1
, . . . , y
(n−1)
1
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
n
= ϕ
n
(x, y
1
, y
0
1
, . . . , y
(n−1)
1
)
(23)
îÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (22). ðÏ-
ÌÕÞÉÍ ÏÄÎÏ äõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y
1
:
d
n
y
1
dx
n
=
n
(x, y
1
, y
0
1
, . . . , y
(n−1)
1
).
ðÕÓÔØ y
1
= ϕ
1
(x; c
1
, c
2
, . . . , c
n
) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÏ-
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×Á× ÅÇÏ (n − 1) ÒÁÚ É ÐÏÄÓÔÁ×É× ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ y
0
1
, y
00
1
,
. . ., y
(n−1)
1
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (23), ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ y
2
, y
3
, . . ., y
n
.
y
2
= ϕ
2
(x; c
1
, c
2
, . . . , c
n
), . . . , y
n
= ϕ
n
(x; c
1
, c
2
, . . . , c
n
).
ðÒÉÍÅÒ. òÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
dy
dx
= 6y − 2z
dz
dx
= 2y + z
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y
00
= 6y
0
−2z
0
. ðÏÄÓÔÁ-
×ÌÑÅÍ z
0
= 2y + z × ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y
00
= 6y
0
−2(2y + z), y
00
−6y
0
+ 4y =
−2z. óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:
y
0
= 6y − 2z
y
00
− 6y
0
+ 4y = −2z
éÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ: z =
6y −y
0
2
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ z ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ:
y
00
− 6y
0
+ 4y =
−2(6y − y
0
)
2
, Ô.Å. y
00
− 7y
0
+ 10y = 0.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÏÄÎÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÅÛÁÅÍ ÅÇÏ: λ
2
−7λ+10 =
0, λ
1
= 2, λ
2
= 5 É y = c
1
e
2x
+ c
2
e
5x
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. îÁÈÏÄÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ z. úÎÁÞÅÎÉÑ y É y
0
= (c
1
e
2x
+ c
2
e
5x
)
0
= 2c
1
e
2x
+ 5c
2
e
5x
ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
× ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ z =
6y −y
0
2
. ðÏÌÕÞÉÍ: z = 3c
1
e
2x
+ 3c
2
e
5x
− c
1
e
2x
−
5
2
c
2
e
5x
, Ô.Å
z = 2c
1
e
2x
− 0, 5c
2
e
5x
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = c
1
e
2x
+ c
2
e
5x
, z = 2c
1
e
2x
− 0, 5c
2
e
5x
.
41
                                                                        (n−1)
ÞÅÒÅÚ x, ÆÕÎËÃÉÀ y1 É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y10 , y100 , . . ., y1
                      
                                                        (n−1)
                      
                        y2 = ϕ2(x, y1, y10 , . . . , y1      )
                      
                                                       (n−1)
                                          0
                         y3 = ϕ3(x, y1, y1, . . . , y1        )                               (23)
                      
                        ...........................
                      
                                                        (n−1)
                         yn = ϕn (x, y1, y10 , . . . , y1      )
îÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (22). ðÏ-
                                                                            dn y1
ÌÕÞÉÍ ÏÄÎÏ äõ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y1 :                      =
                                                                            dxn
                         (n−1)
n(x, y1, y10 , . . . , y1     ).
     ðÕÓÔØ y1 = ϕ1(x; c1, c2, . . . , cn ) ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÏ-
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×Á× ÅÇÏ (n − 1) ÒÁÚ É ÐÏÄÓÔÁ×É× ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ y 10 , y100 ,
        (n−1)
. . ., y1     × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (23), ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ y2 , y3, . . ., yn .
               y2 = ϕ2 (x; c1, c2 , . . . , cn ), . . . , yn = ϕn (x; c1, c2, . . . , cn ).
  ðÒÉÍÅÒ. òÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
                              
                               dy = 6y − 2z
                              
                                   dx
                                  dz
                                     = 2y + z
                                   dx
  òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y 00 = 6y 0 −2z 0 . ðÏÄÓÔÁ-
×ÌÑÅÍ z 0 = 2y + z × ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y 00 = 6y 0 − 2(2y + z), y 00 − 6y 0 + 4y =
−2z. óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:
                            0
                             y = 6y − 2z
                             y 00 − 6y 0 + 4y = −2z
                                        6y − y 0
éÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ: z =                  . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ z ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
                                             2
ÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ:
                                 −2(6y − y 0 )
            y 00 − 6y 0 + 4y =                 , Ô.Å. y 00 − 7y 0 + 10y = 0.
                                     2
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÏÄÎÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ìäõ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÅÛÁÅÍ ÅÇÏ: λ2 −7λ+10 =
0, λ1 = 2, λ2 = 5 É y = c1 e2x + c2 e5x ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. îÁÈÏÄÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ z. úÎÁÞÅÎÉÑ y É y 0 = (c1 e2x + c2 e5x )0 = 2c1 e2x + 5c2e5x ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
                      6y − y 0                                               5
× ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ z =                . ðÏÌÕÞÉÍ: z = 3c1 e2x + 3c2 e5x − c1 e2x − c2 e5x , Ô.Å
                          2                                                  2
z = 2c1 e2x − 0, 5c2e5x .
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                       y = c1 e2x + c2 e5x ,       z = 2c1e2x − 0, 5c2e5x .
                                                   41

Страницы