Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ
ïÄÉÎ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ äõ ¡
ÍÅÔÏÄ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ Ë ÏÄÎÏÍÕ äõ. ôÅÈÎÉËÁ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ.
ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ (20). ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÐÏ x ÌÀÂÏÅ,
ÎÁÐÒÉÍÅÒ ÐÅÒ×ÏÅ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
d
2
y
1
dx
2
=
∂f
1
∂x
+
∂f
1
∂y
1
dy
1
dx
+
∂f
1
∂y
2
dy
2
dx
+ . . . +
∂f
1
∂y
n
dy
n
dx
.
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ
dy
1
dx
,
dy
2
dx
, . . .,
dy
n
dx
ÉÚ ÓÉ-
ÓÔÅÍÙ (20), ÐÏÌÕÞÉÍ:
d
2
y
1
dx
2
=
∂f
1
∂x
+
∂f
1
∂y
1
· f
1
+
∂f
1
∂y
2
· f
2
+ . . . +
∂f
1
∂y
n
· f
n
.
ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ x; y
1
; y
2
; . . .; y
n
, Ô.Å.
d
2
y
1
dx
2
= F
2
(x, y
1
, y
2
, . . . , y
n
).
ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÅÝÅ ÒÁÚ É ÚÁÍÅÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ
dy
1
dx
; . . .;
dy
n
dx
ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ (20), ÐÏÌÕÞÉÍ
d
3
y
1
dx
3
= F
3
(x, y
1
, y
2
, . . . , y
n
).
ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
dy
1
dx
= f
1
(x; y
1
; y
2
; . . . ; y
n
)
d
2
y
1
dx
2
= F
2
(x; y
1
; . . . ; y
n
)
d
3
y
1
dx
3
= F
1
(x; y
1
; . . . ; y
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d
n
y
1
dx
n
= F
n
(x; y
1
; . . . ; y
n
)
(22)
éÚ ÐÅÒ×ÙÈ (n − 1) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (22) ×ÙÒÁÚÉÍ ÆÕÎËÃÉÉ y
2
, y
3
, . . ., y
n
40
21. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ

   ïÄÉÎ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ äõ ¡
ÍÅÔÏÄ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ Ë ÏÄÎÏÍÕ äõ. ôÅÈÎÉËÁ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ.
   ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ (20). ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÐÏ x ÌÀÂÏÅ,
ÎÁÐÒÉÍÅÒ ÐÅÒ×ÏÅ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:

               d2 y1   ∂f1 ∂f1 dy1 ∂f1 dy2            ∂f1 dyn
                     =    +        +        + . . . +         .
               dx2     ∂x   ∂y1 dx   ∂y2 dx           ∂yn dx

                                                                 dy1 dy2          dyn
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ                      ,    , . . .,     ÉÚ ÓÉ-
                                                                 dx dx            dx
ÓÔÅÍÙ (20), ÐÏÌÕÞÉÍ:

                d2y1   ∂f1 ∂f1          ∂f1                 ∂f1
                     =    +     · f 1 +     · f 2 + . . . +     · fn .
                dx2    ∂x   ∂y1         ∂y2                 ∂yn
ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ x; y1 ; y2; . . .; yn , Ô.Å.

                            d2 y1
                                  = F2(x, y1, y2, . . . , yn).
                            dx2
ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÅÝÅ ÒÁÚ É ÚÁÍÅÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
            dy1          dyn
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ     ; . . .;     ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ (20), ÐÏÌÕÞÉÍ
            dx           dx
                            d3 y1
                                  = F3(x, y1, y2, . . . , yn).
                            dx3
ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
                     
                        dy1
                     
                               = f1(x; y1; y2; . . . ; yn )
                     
                        dx
                     
                        d 2 y1
                     
                     
                      dx2 = F2 (x; y1; . . . ; yn)
                     
                         d 3 y1                                                        (22)
                     
                             3
                                 = F1 (x; y1; . . . ; yn)
                     
                        dx
                     
                        ........................
                     
                     
                          n
                      d y1 = Fn(x; y1; . . . ; yn )
                     
                         dxn
éÚ ÐÅÒ×ÙÈ (n − 1) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (22) ×ÙÒÁÚÉÍ ÆÕÎËÃÉÉ y2 , y3, . . ., yn
                                  40

Страницы