Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20. óÉÓÔÅÍÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÆÉÚÉËÉ, ÔÅÈÎÉËÉ ÎÅÒÅÄËÏ ÔÒÅ-
ÂÕÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÆÕÎËÃÉÊ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë
ÎÅÓËÏÌØËÉÍ äõ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÕ.
óÉÓÔÅÍÏÊ äõ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ äõ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ, ÉÓËÏÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ.
ïÂÝÉÊ ×ÉÄ ÓÉÓÔÅÍÙ äõ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ n ÉÓËÏÍÙÈ ÆÕÎË-
ÃÉÊ y
1
, y
2
, . . ., y
n
, ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ:
F
1
(x; y
1
; y
2
; . . . ; y
n
; y
0
1
; y
0
2
; . . . ; y
0
n
) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
n
(x; y
1
; y
2
; . . . ; y
n
; y
0
1
; y
0
2
; . . . ; y
0
n
) = 0.
óÉÓÔÅÍÁ äõ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ,
Ô.Å. ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÉÄÁ:
dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
(20)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ äõ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÉÓËÏÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÓ-
ÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ×ÉÄÁ (20). îÁÐÒÉÍÅÒ,
ÓÉÓÔÅÍÁ ÔÒÅÈ äõ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
d
2
x
dt
2
= F
1
(x; y; z; x
0
; y
0
; z
0
)
d
2
y
dt
2
= F
2
(x; y; z; x
0
; y
0
; z
0
)
d
2
z
dt
2
= F
3
(x; y; z; x
0
; y
0
; z
0
),
ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÁÑ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÔÏÞËÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÐÕÔÅÍ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ:
dx
dt
= u;
dy
dt
= v;
dz
dt
= w
38
20. óÉÓÔÅÍÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

   äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÆÉÚÉËÉ, ÔÅÈÎÉËÉ ÎÅÒÅÄËÏ ÔÒÅ-
ÂÕÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÆÕÎËÃÉÊ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë
ÎÅÓËÏÌØËÉÍ äõ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÕ.
   óÉÓÔÅÍÏÊ äõ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ äõ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ, ÉÓËÏÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ.
   ïÂÝÉÊ ×ÉÄ ÓÉÓÔÅÍÙ äõ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ n ÉÓËÏÍÙÈ ÆÕÎË-
ÃÉÊ y1 , y2 , . . ., yn , ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ:
                          
                           F1(x; y1; y2; . . . ; yn; y10 ; y20 ; . . . ; yn0 ) = 0
                             ....................................
                          
                             Fn (x; y1; y2; . . . ; yn; y10 ; y20 ; . . . ; yn0 ) = 0.

   óÉÓÔÅÍÁ äõ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ,
Ô.Å. ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÉÄÁ:
                     
                       dy1
                     
                     
                               = f1 (x, y1, y2, . . . , yn)
                     
                        dx
                      dy2
                                = f2 (x, y1, y2, . . . , yn)              (20)
                        dx
                     
                       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                     
                     
                      dyn = fn(x, y1, y2, . . . , yn)
                     
                         dx
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ äõ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÉÓËÏÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÓ-
ÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ×ÉÄÁ (20). îÁÐÒÉÍÅÒ,
ÓÉÓÔÅÍÁ ÔÒÅÈ äõ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
                       2
                      
                       dx
                      
                            2
                               = F1 (x; y; z; x0; y 0 ; z 0 )
                      
                       2dt
                        dy
                            2
                               = F2 (x; y; z; x0; y 0; z 0 )
                      
                        dt2
                      
                       z = F3(x; y; z; x0; y 0 ; z 0 ),
                       d
                         dt2
ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÁÑ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÔÏÞËÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÐÕÔÅÍ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ:
                    dx        dy       dz
                        = u;      = v;     =w
                     dt       dt       dt
                                 38

Страницы