Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 42 стр.

22. ëÏÎÔÒÏÌØÎÙÅ ÄÏÍÁÛÎÉÅ ÚÁÄÁÎÉÑ
 I. úÁÄÁÞÉ ÎÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÅÒ×ÏÇÏ
                                 ÐÏÒÑÄËÁ
    ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÓÔÒÏÑÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÚÁÄÁÞÉ ÞÅÒÔÅÖ,
ÚÁÔÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÉÓËÏÍÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÞÅÒÅÚ y = y(x) É ×ÙÒÁÖÁÀÔ ×ÓÅ ×ÈÏÄÑ-
ÝÉÅ × ÚÁÄÁÞÕ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÞÅÒÅÚ x, y É y 0 . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÇÅÏÍÅ-
ÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ (y 0 ÅÓÔØ ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë
ËÒÉ×ÏÊ y = y(x)). úÁÔÅÍ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÕËÁÚÁÎÎÕÀ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ
ÜÔÉÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ÐÏÌÕÞÁÀÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ F (x, y, y 0) = 0,
ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÎÁÈÏÄÑÔ ÉÓËÏÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ y(x).
    ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÏÔ-
ÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÅÌÁÀÔ
ÄÏÐÕÝÅÎÉÑ, ÕÐÒÏÝÁÀÝÉÅ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÏ ÎÅ ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ. îÁ-
ÐÒÉÍÅÒ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ ×ÅÌÉÞÉÎ ÚÁÍÅÎÑÀÔ ÉÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉ-
ÁÌÁÍÉ; ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÀÔ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÊ ÐÒÏÃÅÓÓ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ×
ÔÅÞÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÏÇÏ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ ×ÒÅÍÅÎÉ dt, ÐÒÏÔÅËÁÅÔ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ
ÓËÏÒÏÓÔØÀ, É Ô.Ä.
    ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÂÏ-
ÌÅÅ ÐÒÏÓÔÙÍ ÐÕÔÅÍ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ (ÓËÏÒÏÓÔØ
ÐÒÏÔÅËÁÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÐÒÏÃÅÓÓÁ).
    ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÅÍÅÊÓÔ× ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ xOy, ÚÎÁÑ,
ÞÔÏ ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÀÂÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÜÔÏ-
ÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ Ë ÅÅ ÁÂÓÃÉÓÓÅ, ×ÚÑÔÏÍÕ Ó
ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÍ ÚÎÁËÏÍ.
    òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÒÉ×ÕÀ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÞÅÒÅÚ y = y(x). õÇÌÏ-
×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÅÅ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÅÎ y 0 (x). ó
                                                        y
ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÎ ÒÁ×ÅÎ − . ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                                        x
                                                      0    y
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á: y = − . üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                                           x
Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. òÁÚÄÅÌÉ× ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ y 6= 0,
ÐÏÌÕÞÉÍ
                 dx     dy
                    = − , ÏÔËÕÄÁ ln |x| + ln |y| = ln |c|,
                  x      y
ÉÌÉ xy = c. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉ-
ÐÅÒÂÏÌ, ÉÍÅÀÝÉÈ Ó×ÏÉÍÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁÍÉ ÏÓÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ïÓÏÂÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ
                                     42