Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 44 стр.

×ÙÔÅËÁÅÔ 2 · –t ÌÉÔÒÏ× ÒÁÓÔ×ÏÒÁ. ÷ ÍÏÍÅÎÔ t ×Ï ×ÓÅÍ ÓÏÓÕÄÅ (10 Ì) ÓÏÄÅÒ-
ÖÉÔÓÑ y(t) ËÇ ÓÏÌÉ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × 2 · –t ÌÉÔÒÁÈ ×ÙÔÅËÁÀÝÅÇÏ ÒÁÓÔ×ÏÒÁ
ÓÏÄÅÒÖÁÌÏÓØ ÂÙ 0, 2 · –t · y(t) ËÇ ÓÏÌÉ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÚÁ ×ÒÅÍÑ –t ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÓÏÌÉ
× ÓÏÓÕÄÅ ÎÅ ÍÅÎÑÌÏÓØ. îÏ ÔÁË ËÁË ÏÎÏ ÚÁ ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ,
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÕÀ ÐÒÉ –t → 0, ÔÏ × ×ÙÔÅËÁÀÝÉÈ 2 · –t ÌÉÔÒÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ
0, 2 · –t(y(t) + α) ËÇ ÓÏÌÉ, ÇÄÅ α → 0 ÐÒÉ –t → 0.
    éÔÁË, × ÒÁÓÔ×ÏÒÅ, ×ÔÅËÁÀÝÅÍ ÚÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË ×ÒÅÍÅÎÉ (t; t + –t), ÓÏÄÅÒ-
ÖÉÔÓÑ 0, 6 · –t ËÇ ÓÏÌÉ, Á × ×ÙÔÅËÁÀÝÅÍ 0, 2 · –t(y(t) + α) ËÇ. ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÏÌÉ ÚÁ ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ y(t + –t) − y(t) ÒÁ×ÎÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ
×ÅÌÉÞÉÎ, Ô.Å.
                y(t + –t) − y(t) = 0, 6 –t − 0, 2 –t(y(t) + α).
òÁÚÄÅÌÉÍ ÎÁ –t É ÐÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÒÉ –t → 0. ÷ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ y 0 (t), Á × ÐÒÁ×ÏÊ ÐÏÌÕÞÉÍ: 0, 6 − 0, 2y(t), Ô.Ë. α → 0 ÐÒÉ –t → 0.
   éÔÁË, ÉÍÅÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y 0 (t) = 0, 6−0, 2y(t).
òÅÛÁÑ ÅÇÏ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                               y(t) = 3 − c · e−0,2t.
ôÁË ËÁË ÐÒÉ t = 0 ÓÏÌÉ × ÓÏÓÕÄÅ ÎÅ ÂÙÌÏ, ÔÏ y(0) = 0. ðÏÌÁÇÁÑ t = 0, ÎÁÊÄÅÍ
y(0) = 3 − c; 0 = 3 − c; c = 3. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ c = 3, ÐÏÌÕÞÉÍ
y(t) = 3 − 3e−0,2t. ðÒÉ t = 5 × ÓÏÓÕÄÅ ÂÕÄÅÔ
                 y(5) = 3 − 3e−0,2·5 = 3 − 3e−1 ≈ 1, 9 ËÇ ÓÏÌÉ.
                             òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ
   1. ÷ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÂÁË ÒÁÚÍÅÒÏÍ 60 × 75 ÓÍ É ×ÙÓÏÔÏÊ 80 ÓÍ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ
1,8 Ì ×ÏÄÙ × ÓÅËÕÎÄÕ. ÷ ÄÎÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ ÐÌÏÝÁÄØÀ√2,5 ÓÍ2. úÁ ËÁËÏÅ
×ÒÅÍÑ ÎÁÐÏÌÎÉÔÓÑ ÂÁË? (÷ÏÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 0, 6 2gh, h ¡ ×ÙÓÏÔÁ
ÕÒÏ×ÎÑ ×ÏÄÙ ÎÁÄ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅÍ.) óÒÁ×ÎÉÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎÅÍ ÎÁÐÏÌÎÅÎÉÑ
ÂÁËÁ ÂÅÚ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÑ.
   2. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ A (−1, 2), ÅÓÌÉ ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÊ
ÅÅ ÎÏÒÍÁÌÉ ÏÔ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÄÏ ÏÓÉ Oy ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÒÁÄÉÕÓÁ ×ÅËÔÏÒÁ ÔÏÞËÉ
ËÁÓÁÎÉÑ.
   3. íÁÔÅÒÉÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÁÓÓÏÊ × 1 Ç Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ ÐÏÄ ÄÅÊÓÔ×É-
ÅÍ ÓÉÌÙ, ÐÒÑÍÏ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÏÔÓÞÉÔÙ×ÁÅÍÏÍÕ ÏÔ ÍÏÍÅÎÔÁ
t = 0, É ÏÂÒÁÔÎÏ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ. ÷ ÍÏÍÅÎÔ
t = 10 ÓÅË ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÁ×ÎÑÌÁÓØ 0,5 Í/ÓÅË, Á ÓÉÌÁ −4 · 10−5 î. ëÁËÏ×Á ÂÕÄÅÔ
ÓËÏÒÏÓÔØ ÓÐÕÓÔÑ ÍÉÎÕÔÕ ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ?
   4. ôÅÌÏ ÏÈÌÁÄÉÌÏÓØ ÚÁ 10 ÍÉÎ ÏÔ 100◦ ÄÏ 60◦. ôÅÍÐÅÒÁÔÕÒÁ ÏËÒÕÖÁÀÝÅÇÏ
×ÏÚÄÕÈÁ ÐÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ 20◦. ëÏÇÄÁ ÔÅÌÏ ÏÓÔÙÎÅÔ ÄÏ 25◦? (óËÏÒÏÓÔØ
ÏÓÔÙ×ÁÎÉÑ ÔÅÌÁ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÔÅÍÐÅÒÁÔÕÒ ÔÅÌÁ É ÏËÒÕÖÁÀÝÅÊ
ÓÒÅÄÙ).
                                    44