Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5. ÷ÏÒÏÎËÁ ÉÍÅÅÔ ÆÏÒÍÕ ËÏÎÕÓÁ ÒÁÄÉÕÓÁ R = 6 ÓÍ É ×ÙÓÏÔÙ H = 10 ÓÍ,
ÏÂÒÁÝÅÎÎÏÇÏ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ×ÎÉÚ. úÁ ËÁËÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÔÅÞÅÔ ×ÓÑ ×ÏÄÁ ÉÚ ×ÏÒÏÎËÉ
ÞÅÒÅÚ ËÒÕÇÌÏÅ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ d = 0, 5 ÓÍ, ÓÄÅÌÁÎÎÏÅ × ×ÅÒÛÉÎÅ ËÏÎÕÓÁ.
(öÉÄËÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 0, 6
√
2gh, h ¡ ×ÙÓÏÔÁ ÕÒÏ×ÎÑ ×ÏÄÙ ÎÁÄ
ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅÍ).
6. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÙÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÍÍÁ ËÁÔÅÔÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎ-
ÎÏÇÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ, ÅÓÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ, ÒÁ×ÎÁÑ b.
7. íÏÔÏÒÎÁÑ ÌÏÄËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ÓÐÏËÏÊÎÏÊ ×ÏÄÅ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v = 10
ËÍ/ÞÁÓ. îÁ ÐÏÌÎÏÍ ÈÏÄÕ ÅÅ ÍÏÔÏÒ ÂÙÌ ×ÙËÌÀÞÅÎ, É ÞÅÒÅÚ t = 20 ÓÅË ÓËÏÒÏÓÔØ
ÌÏÄËÉ ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ ÄÏ v
1
= 6 ËÍ/ÞÁÓ. óÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÓÉÌÁ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ×ÏÄÙ
Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÌÏÄËÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ ÅÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ, ÎÁÊÔÉ ÓËÏÒÏÓÔØ ÌÏÄËÉ ÞÅÒÅÚ
2 ÍÉÎ ÐÏÓÌÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÏÔÏÒÁ, ÎÁÊÔÉ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÐÒÏÊÄÅÎÎÏÅ ÌÏÄËÏÊ
× ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÍÉÎÕÔÙ ÐÏÓÌÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÏÔÏÒÁ.
8. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (0; −2), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÇÌÏ-
×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ × ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÅÎ ÏÒÄÉÎÁÔÅ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ,
Õ×ÅÌÉÞÅÎÎÏÊ ÎÁ 3 ÅÄÉÎÉÃÙ.
9. ãÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÊ ÂÁË ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏ É ÉÍÅÅÔ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ × ÄÎÅ.
ðÏÌÏ×ÉÎÁ ×ÏÄÙ ÉÚ ÐÏÌÎÏÇÏ ÂÁËÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÚÁ 5 ÍÉÎÕÔ. úÁ ËÁËÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÔÅ-
ÞÅÔ ×ÓÑ ×ÏÄÁ? (öÉÄËÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÒÁ×ÎÏÊ 0, 6
√
2gh, ÇÄÅ h ¡
×ÙÓÏÔÁ ÕÒÏ×ÎÑ ×ÏÄÙ ÎÁÄ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅÍ.)
10. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÙÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ
ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ, ÅÓÔØ ×ÅÌÉÞÉÎ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÁÑ, ÒÁ×ÎÁÑ a
2
.
11. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÔÅÌÁ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÓËÏÒÏÓÔØ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ
ÐÒÏÊÄÅÎÎÏÍÕ ÐÕÔÉ É ÔÅÌÏ ÐÒÏÈÏÄÉÔ 75 Í ÚÁ 5 Ó, Á 225 Í ¡ ÚÁ 10 Ó.
12. ëÁÔÅÒ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ÓÔÏÑÞÅÊ ×ÏÄÅ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 12 ËÍ/Þ. îÁ ÐÏÌÎÏÍ ÈÏÄÕ
ÅÇÏ Ä×ÉÇÁÔÅÌØ ÂÙÌ ×ÙËÌÀÞÅÎ. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ËÁÔÅÒÁ ÞÅÒÅÚ 3 ÍÉÎ ÐÏ-
ÓÌÅ ÏÔËÌÀÞÅÎÉÑ Ä×ÉÇÁÔÅÌÑ, ÓÞÉÔÁÑ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÅ ×ÏÄÙ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ
ÓËÏÒÏÓÔÉ. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ k ÐÒÉÎÑÔØ ÞÉÓÌÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÍ
20m, ÇÄÅ m ¡ ÍÁÓÓÁ ËÁÔÅÒÁ × ËÇ.
13. ÷ ËÏÍÎÁÔÅ, ÇÄÅ ÔÅÍÐÅÒÁÔÕÒÁ ×ÏÚÄÕÈÁ ÒÁ×ÎÁ 20
◦
, ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÔÅÌÏ ÏÈÌÁ-
ÖÄÁÅÔÓÑ ÚÁ 20 ÍÉÎ ÏÔ 100
◦
ÄÏ 60
◦
. óÞÉÔÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÏÓÔÙ×ÁÎÉÑ ÔÅÌÁ ÐÒÏÐÏÒ-
ÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÔÅÍÐÅÒÁÔÕÒ ÔÅÌÁ É ÏËÒÕÖÁÀÝÅÇÏ ÅÇÏ ×ÏÚÄÕÈÁ, ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÉÔØ, ÚÁ ËÁËÏÅ ×ÒÅÍÑ ÔÅÌÏ ÏÓÔÙÎÅÔ ÄÏ 30
◦
.
14. ôÅÌÏ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÐÒÏÊÄÅÎÎÏÍÕ ÐÕÔÉ.
ëÁËÏÊ ÐÕÔØ ÐÒÏÊÄÅÔ ÔÅÌÏ ÚÁ 5 ÓÅËÕÎÄ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ,
ÞÔÏ ÚÁ 1 ÓÅËÕÎÄÕ ÏÎÏ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÐÕÔØ 8 Í, Á ÚÁ 3 ÓÅËÕÎÄÙ ¡ 40 Í?
15. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (1; 4), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
ÏÔÒÅÚÏË ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÏÊ ËÁÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ.
45
   5. ÷ÏÒÏÎËÁ ÉÍÅÅÔ ÆÏÒÍÕ ËÏÎÕÓÁ ÒÁÄÉÕÓÁ R = 6 ÓÍ É ×ÙÓÏÔÙ H = 10 ÓÍ,
ÏÂÒÁÝÅÎÎÏÇÏ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ×ÎÉÚ. úÁ ËÁËÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÔÅÞÅÔ ×ÓÑ ×ÏÄÁ ÉÚ ×ÏÒÏÎËÉ
ÞÅÒÅÚ ËÒÕÇÌÏÅ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ d = 0,√ 5 ÓÍ, ÓÄÅÌÁÎÎÏÅ × ×ÅÒÛÉÎÅ ËÏÎÕÓÁ.
(öÉÄËÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 0, 6 2gh, h ¡ ×ÙÓÏÔÁ ÕÒÏ×ÎÑ ×ÏÄÙ ÎÁÄ
ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅÍ).
   6. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÙÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÍÍÁ ËÁÔÅÔÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎ-
ÎÏÇÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ, ÅÓÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ, ÒÁ×ÎÁÑ b.
   7. íÏÔÏÒÎÁÑ ÌÏÄËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ÓÐÏËÏÊÎÏÊ ×ÏÄÅ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v = 10
ËÍ/ÞÁÓ. îÁ ÐÏÌÎÏÍ ÈÏÄÕ ÅÅ ÍÏÔÏÒ ÂÙÌ ×ÙËÌÀÞÅÎ, É ÞÅÒÅÚ t = 20 ÓÅË ÓËÏÒÏÓÔØ
ÌÏÄËÉ ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ ÄÏ v1 = 6 ËÍ/ÞÁÓ. óÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÓÉÌÁ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ×ÏÄÙ
Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÌÏÄËÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ ÅÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ, ÎÁÊÔÉ ÓËÏÒÏÓÔØ ÌÏÄËÉ ÞÅÒÅÚ
2 ÍÉÎ ÐÏÓÌÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÏÔÏÒÁ, ÎÁÊÔÉ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÐÒÏÊÄÅÎÎÏÅ ÌÏÄËÏÊ
× ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÍÉÎÕÔÙ ÐÏÓÌÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÏÔÏÒÁ.
   8. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (0; −2), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÇÌÏ-
×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ × ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÅÎ ÏÒÄÉÎÁÔÅ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ,
Õ×ÅÌÉÞÅÎÎÏÊ ÎÁ 3 ÅÄÉÎÉÃÙ.
   9. ãÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÊ ÂÁË ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏ É ÉÍÅÅÔ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ × ÄÎÅ.
ðÏÌÏ×ÉÎÁ ×ÏÄÙ ÉÚ ÐÏÌÎÏÇÏ ÂÁËÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÚÁ 5 ÍÉÎÕÔ. úÁ ËÁËÏÅ  √ ×ÒÅÍÑ ×ÙÔÅ-
ÞÅÔ ×ÓÑ ×ÏÄÁ? (öÉÄËÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÒÁ×ÎÏÊ 0, 6 2gh, ÇÄÅ h ¡
×ÙÓÏÔÁ ÕÒÏ×ÎÑ ×ÏÄÙ ÎÁÄ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅÍ.)
   10. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÙÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ
ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ, ÅÓÔØ ×ÅÌÉÞÉÎ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÁÑ, ÒÁ×ÎÁÑ a2 .
   11. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÔÅÌÁ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÓËÏÒÏÓÔØ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ
ÐÒÏÊÄÅÎÎÏÍÕ ÐÕÔÉ É ÔÅÌÏ ÐÒÏÈÏÄÉÔ 75 Í ÚÁ 5 Ó, Á 225 Í ¡ ÚÁ 10 Ó.
   12. ëÁÔÅÒ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ÓÔÏÑÞÅÊ ×ÏÄÅ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 12 ËÍ/Þ. îÁ ÐÏÌÎÏÍ ÈÏÄÕ
ÅÇÏ Ä×ÉÇÁÔÅÌØ ÂÙÌ ×ÙËÌÀÞÅÎ. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ËÁÔÅÒÁ ÞÅÒÅÚ 3 ÍÉÎ ÐÏ-
ÓÌÅ ÏÔËÌÀÞÅÎÉÑ Ä×ÉÇÁÔÅÌÑ, ÓÞÉÔÁÑ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÅ ×ÏÄÙ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ
ÓËÏÒÏÓÔÉ. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ k ÐÒÉÎÑÔØ ÞÉÓÌÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÍ
20m, ÇÄÅ m ¡ ÍÁÓÓÁ ËÁÔÅÒÁ × ËÇ.
   13. ÷ ËÏÍÎÁÔÅ, ÇÄÅ ÔÅÍÐÅÒÁÔÕÒÁ ×ÏÚÄÕÈÁ ÒÁ×ÎÁ 20◦, ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÔÅÌÏ ÏÈÌÁ-
ÖÄÁÅÔÓÑ ÚÁ 20 ÍÉÎ ÏÔ 100◦ ÄÏ 60◦. óÞÉÔÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÏÓÔÙ×ÁÎÉÑ ÔÅÌÁ ÐÒÏÐÏÒ-
ÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÔÅÍÐÅÒÁÔÕÒ ÔÅÌÁ É ÏËÒÕÖÁÀÝÅÇÏ ÅÇÏ ×ÏÚÄÕÈÁ, ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÉÔØ, ÚÁ ËÁËÏÅ ×ÒÅÍÑ ÔÅÌÏ ÏÓÔÙÎÅÔ ÄÏ 30◦.
   14. ôÅÌÏ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÐÒÏÊÄÅÎÎÏÍÕ ÐÕÔÉ.
ëÁËÏÊ ÐÕÔØ ÐÒÏÊÄÅÔ ÔÅÌÏ ÚÁ 5 ÓÅËÕÎÄ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ,
ÞÔÏ ÚÁ 1 ÓÅËÕÎÄÕ ÏÎÏ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÐÕÔØ 8 Í, Á ÚÁ 3 ÓÅËÕÎÄÙ ¡ 40 Í?
   15. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ (1; 4), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
ÏÔÒÅÚÏË ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÏÊ ËÁÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ.
                                    45

Страницы