Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÏÄÁÅÔÓÑ ×ÏÄÁ (5 Ì × ÍÉÎÕÔÕ), ËÏÔÏÒÁÑ ÐÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÉÍÅ-
ÀÝÉÍÓÑ ÒÁÓÔ×ÏÒÏÍ. óÍÅÓØ ×ÙÔÅËÁÅÔ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. óËÏÌØËÏ ÓÏÌÉ ×
ÂÁËÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÞÁÓ?
27. ìÏÄËÁ ÚÁÍÅÄÌÑÅÔ Ó×ÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ×ÏÄÙ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÌÏÄËÉ. îÁÞÁÌØÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÌÏÄËÉ 1,5
Í/ÓÅË, ÞÅÒÅÚ 4 ÓÅË ÓËÏÒÏÓÔØ ÅÅ 1 Í/ÓÅË. ëÏÇÄÁ ÓËÏÒÏÓÔØ ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ ÄÏ 1
Í/ÓÅË? ëÁËÏÊ ÐÕÔØ ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÊÔÉ ÌÏÄËÁ ÄÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ?
28. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÌÉÎÉÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÒÅÚÏË ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÏÊ ËÁ-
ÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ × ÔÏÞËÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ ÏÒÄÉÎÁÔ.
29. ãÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÏÓÕÄ ×ÙÓÏÔÏÊ H É ÒÁÄÉÕÓÁ R, ÎÁÐÏÌÎÅÎÎÙÊ ÖÉÄËÏ-
ÓÔØÀ, ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÄÎÅ ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ ÐÌÏÝÁÄØÀ S. óËÏÒÏÓÔØ ÉÓÔÅÞÅÎÉÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ
ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ ÒÁ×ÎÁ S ·
√
2gh, ÇÄÅ h ¡ ×ÙÓÏÔÁ ÕÒÏ×ÎÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅ-
ÎÉ t, g = 9, 81 Í/ÓÅË
2
¡ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÓÉÌÙ ÔÑÖÅÓÔÉ. îÁÊÔÉ ×ÒÅÍÑ T , × ÔÅÞÅÎÉÅ
ËÏÔÏÒÏÇÏ ÖÉÄËÏÓÔØ ×ÙÔÅÞÅÔ ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ.
30. ÷ ÒÅÚÅÒ×ÕÁÒ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 20 Ì ×ÏÄÙ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ ÓÏ ÓËÏ-
ÒÏÓÔØÀ 3 Ì/ÍÉÎ ÒÁÓÔ×ÏÒ, × ËÁÖÄÏÍ ÌÉÔÒÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ 0,4 ËÇ ÓÏÌÉ.
üÔÏÔ ÒÁÓÔ×ÏÒ ÐÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ×ÏÄÏÊ, É ÓÍÅÓØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÚÅÒ×ÕÁÒÁ Ó
ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. óËÏÌØËÏ ÓÏÌÉ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÚÅÒ×ÕÁÒ ÞÅÒÅÚ 10 ÍÉÎ?
II. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
1) Á) 3(x
2
y + y) dy +
p
2 + y
2
dx = 0;
Â) xy
0
= 4
p
2x
2
+ y
2
+ y;
×) y
0
= (x + 6y − 7)/(8x −y − 7).
2) Á) y
0
= (3y − 2x + 1)/(3x + 3);
Â)
p
3 + y
2
+
√
1 − x
2
y · y
0
= 0;
×) xy
0
= 4
p
x
2
+ y
2
+ y.
3) Á) xy
0
= (3y
3
+ 14yx
2
)/(2y
2
+ 7x
2
);
Â) y
0
= (x + y − 4)/(x − 2);
×) y(1 + ln y) + xy
0
= 0.
4) Á)
√
1 − x
2
y
0
+ xy
2
+ x = 0;
Â) xy
0
= 2
p
3x
2
+ y
2
+ y;
×) y
0
= y/(2x + 2y − 2).
5) Á) y
0
= (2x + y − 3)/(4x −4);
Â) xy
0
= (3y
3
+ 12yx
2
)/(2y
2
+ 6x
2
);
×) y ln y + xy
0
= 0.
6) Á)
p
5 + y
2
+ y
0
y
√
1 − x
2
= 0;
Â) y
0
= (x + 4y − 5)/(6x −y − 5);
×) xy
0
= 3
p
2x
2
+ +y
2
+ y.
47
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÏÄÁÅÔÓÑ ×ÏÄÁ (5 Ì × ÍÉÎÕÔÕ), ËÏÔÏÒÁÑ ÐÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÉÍÅ-
ÀÝÉÍÓÑ ÒÁÓÔ×ÏÒÏÍ. óÍÅÓØ ×ÙÔÅËÁÅÔ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. óËÏÌØËÏ ÓÏÌÉ ×
ÂÁËÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÞÁÓ?
   27. ìÏÄËÁ ÚÁÍÅÄÌÑÅÔ Ó×ÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ×ÏÄÙ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÌÏÄËÉ. îÁÞÁÌØÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÌÏÄËÉ 1,5
Í/ÓÅË, ÞÅÒÅÚ 4 ÓÅË ÓËÏÒÏÓÔØ ÅÅ 1 Í/ÓÅË. ëÏÇÄÁ ÓËÏÒÏÓÔØ ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ ÄÏ 1
Í/ÓÅË? ëÁËÏÊ ÐÕÔØ ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÊÔÉ ÌÏÄËÁ ÄÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ?
   28. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÌÉÎÉÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÒÅÚÏË ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÏÊ ËÁ-
ÓÁÎÉÑ É ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ × ÔÏÞËÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ ÏÒÄÉÎÁÔ.
   29. ãÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÏÓÕÄ ×ÙÓÏÔÏÊ H É ÒÁÄÉÕÓÁ R, ÎÁÐÏÌÎÅÎÎÙÊ ÖÉÄËÏ-
ÓÔØÀ, ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÄÎÅ√ÏÔ×ÅÒÓÔÉÅ ÐÌÏÝÁÄØÀ S. óËÏÒÏÓÔØ ÉÓÔÅÞÅÎÉÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ
ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ ÒÁ×ÎÁ S · 2gh, ÇÄÅ h ¡ ×ÙÓÏÔÁ ÕÒÏ×ÎÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅ-
ÎÉ t, g = 9, 81 Í/ÓÅË2 ¡ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÓÉÌÙ ÔÑÖÅÓÔÉ. îÁÊÔÉ ×ÒÅÍÑ T , × ÔÅÞÅÎÉÅ
ËÏÔÏÒÏÇÏ ÖÉÄËÏÓÔØ ×ÙÔÅÞÅÔ ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ.
   30. ÷ ÒÅÚÅÒ×ÕÁÒ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 20 Ì ×ÏÄÙ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ ÓÏ ÓËÏ-
ÒÏÓÔØÀ 3 Ì/ÍÉÎ ÒÁÓÔ×ÏÒ, × ËÁÖÄÏÍ ÌÉÔÒÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ 0,4 ËÇ ÓÏÌÉ.
üÔÏÔ ÒÁÓÔ×ÏÒ ÐÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ×ÏÄÏÊ, É ÓÍÅÓØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÚÅÒ×ÕÁÒÁ Ó
ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. óËÏÌØËÏ ÓÏÌÉ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÚÅÒ×ÕÁÒ ÞÅÒÅÚ 10 ÍÉÎ?
   II. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                              p
   1) Á) 3(x2y +p   y) dy + 2 + y 2 dx = 0;
       Â) xy 0 = 4 2x2 + y 2 + y;
       ×) y 0 = (x + 6y − 7)/(8x − y − 7).
   2) Á) yp0 = (3y − 2x  √ + 1)/(3x +0 3);
       Â) 3 + yp   2+      1 − x2 y · y = 0;
       ×) xy 0 = 4 x2 + y 2 + y.
   3) Á) xy 0 = (3y 3 + 14yx2)/(2y 2 + 7x2);
       Â) y 0 = (x + y − 4)/(x − 2);
       ×) y(1 + ln y) + xy 0 = 0.
          √
   4) Á) 1 − xp    2 y 0 + xy 2 + x = 0;

       Â) xy 0 = 2 3x2 + y 2 + y;
       ×) y 0 = y/(2x + 2y − 2).
   5) Á) y 0 = (2x + y − 3)/(4x − 4);
       Â) xy 0 = (3y 3 + 12yx2)/(2y 2 + 6x2);
       ×) y ln y + xy 0 = 0.
          p                 √
   6) Á) 5 + y 2 + y 0 y 1 − x2 = 0;
       Â) y 0 = (x p
                   + 4y − 5)/(6x − y − 5);
       ×) xy 0 = 3 2x2 + +y 2 + y.
                                          47

Страницы