Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ y = 0.
ðÒÉÍÅÒ 2. íÁÔÅÒÉÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÁÓÓÏÊ m = 0, 75 Ç ÐÏÇÒÕÖÁÅÔÓÑ × ÖÉÄ-
ËÏÓÔØ ÂÅÚ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ. óÉÌÁ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏ-
ÎÁÌØÎÁ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÐÏÇÒÕÖÅÎÉÑ v Ó ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ k = 3.
îÁÊÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ; ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÞÅ-
ÒÅÚ 2 ÓÅËÕÎÄÙ ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÐÏÇÒÕÖÅÎÉÑ.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t ÔÏÞËÁ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÓÉÌÙ ÔÑ-
ÖÅÓÔÉ P = mg É ÓÉÌÙ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ Q = kv. óÉÌÁ Q ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ
× ÓÔÏÒÏÎÕ, ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÕÀ Ä×ÉÖÅÎÉÀ, Á ÓÉÌÁ P ¡ × ÓÔÏÒÏÎÕ Ä×ÉÖÅÎÉÑ;
ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ÒÁ×ÎÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ F = mg −kv. ðÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÊ ÒÁ×ÎÏÄÅÊ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÔÏÞËÁ ÏÐÕÓËÁÅÔÓÑ ×ÎÉÚ. îÏ ÐÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ îØÀÔÏÎÁ F = ma,
ÇÄÅ a =
dv
dt
(ÕÓËÏÒÅÎÉÅ), Ô.Å. F = m ·
dv
dt
. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÏÂÁ ×ÙÒÁÖÅ-
ÎÉÑ ÄÌÑ F :
m
dv
dt
= mg −kv,
ÏÔËÕÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÉÍÅÅÍ
0, 75
dv
dt
= 0, 75g − 3v, ÉÌÉ
dv
dt
= g −4v.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
dv
g − 4v
= dt; −
1
4
ln |g − 4v| = t −
1
4
ln c;
ln |g −4v| = −4t + ln C, Ô.Å. v =
g
4
(1 − e
−4t
).
ðÏÌÁÇÁÑ ÔÅÐÅÒØ t = 2, ÎÁÈÏÄÉÍ ÓËÏÒÏÓÔØ ÔÏÞËÉ ÞÅÒÅÚ 2 Ó ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÐÏ-
ÇÒÕÖÅÎÉÑ:
v =
g
4
(1 − e
−8
) = 2, 45 (Í/Ó)
ðÒÉÍÅÒ 3. ÷ ÓÏÓÕÄ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 10 Ì ×ÏÄÙ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ ÓÏ
ÓËÏÒÏÓÔØÀ 2 Ì × ÍÉÎÕÔÕ ÒÁÓÔ×ÏÒ, × ËÁÖÄÏÍ ÌÉÔÒÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ 0,3
ËÇ ÓÏÌÉ. ðÏÓÔÕÐÁÀÝÉÊ × ÓÏÓÕÄ ÒÁÓÔ×ÏÒ ÐÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ×ÏÄÏÊ, É ÓÍÅÓØ
×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. óËÏÌØËÏ ÓÏÌÉ ÂÕÄÅÔ × ÓÏÓÕÄÅ ÞÅÒÅÚ
5 ÍÉÎÕÔ?
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÍ ÚÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ t, Á ÚÁ ÉÓËÏÍÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ y(t) ¡ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÌÉ × ÓÏÓÕÄÅ ÞÅÒÅÚ t ÍÉÎÕÔ ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÏÐÙ-
ÔÁ. îÁÊÄÅÍ, ÎÁ ÓËÏÌØËÏ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÌÉ × ÓÏÓÕÄÅ ÚÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË
×ÒÅÍÅÎÉ ÏÔ ÍÏÍÅÎÔÁ t ÄÏ ÍÏÍÅÎÔÁ t + –t. ÷ ÏÄÎÕ ÍÉÎÕÔÕ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ 2 Ì
ÒÁÓÔ×ÏÒÁ, Á × –t ÍÉÎÕÔ ¡ 2 · –t ÌÉÔÒÏ×; × ÜÔÉÈ 2 · –t ÌÉÔÒÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ-
ÓÑ 0, 3 · 2 · –t = 0, 6 –t ËÇ ÓÏÌÉ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÚÁ ×ÒÅÍÑ –t ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ
43
ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ y = 0.
   ðÒÉÍÅÒ 2. íÁÔÅÒÉÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÁÓÓÏÊ m = 0, 75 Ç ÐÏÇÒÕÖÁÅÔÓÑ × ÖÉÄ-
ËÏÓÔØ ÂÅÚ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ. óÉÌÁ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏ-
ÎÁÌØÎÁ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÐÏÇÒÕÖÅÎÉÑ v Ó ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ k = 3.
îÁÊÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ; ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÞÅ-
ÒÅÚ 2 ÓÅËÕÎÄÙ ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÐÏÇÒÕÖÅÎÉÑ.
   òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t ÔÏÞËÁ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÓÉÌÙ ÔÑ-
ÖÅÓÔÉ P = mg É ÓÉÌÙ ÓÏÐÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ ÖÉÄËÏÓÔÉ Q = kv. óÉÌÁ Q ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ
× ÓÔÏÒÏÎÕ, ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÕÀ Ä×ÉÖÅÎÉÀ, Á ÓÉÌÁ P ¡ × ÓÔÏÒÏÎÕ Ä×ÉÖÅÎÉÑ;
ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ÒÁ×ÎÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ F = mg − kv. ðÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÊ ÒÁ×ÎÏÄÅÊ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÔÏÞËÁ ÏÐÕÓËÁÅÔÓÑ ×ÎÉÚ. îÏ ÐÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ îØÀÔÏÎÁ F = ma,
        dv                           dv
ÇÄÅ a =     (ÕÓËÏÒÅÎÉÅ), Ô.Å. F = m · . ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÏÂÁ ×ÙÒÁÖÅ-
         dt                          dt
ÎÉÑ ÄÌÑ F :
                                 dv
                               m = mg − kv,
                                 dt
ÏÔËÕÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÉÍÅÅÍ
                   dv                         dv
                0, 75 = 0, 75g − 3v,    ÉÌÉ      = g − 4v.
                   dt                         dt
éÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                   dv                1                 1
                        = dt;       − ln |g − 4v| = t − ln c;
                 g − 4v              4                 4
                                                    g
                  ln |g − 4v| = −4t + ln C, Ô.Å. v = (1 − e−4t).
                                                    4
ðÏÌÁÇÁÑ ÔÅÐÅÒØ t = 2, ÎÁÈÏÄÉÍ ÓËÏÒÏÓÔØ ÔÏÞËÉ ÞÅÒÅÚ 2 Ó ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÐÏ-
ÇÒÕÖÅÎÉÑ:
                                g
                           v = (1 − e−8) = 2, 45 (Í/Ó)
                                4
   ðÒÉÍÅÒ 3. ÷ ÓÏÓÕÄ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 10 Ì ×ÏÄÙ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ ÓÏ
ÓËÏÒÏÓÔØÀ 2 Ì × ÍÉÎÕÔÕ ÒÁÓÔ×ÏÒ, × ËÁÖÄÏÍ ÌÉÔÒÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ 0,3
ËÇ ÓÏÌÉ. ðÏÓÔÕÐÁÀÝÉÊ × ÓÏÓÕÄ ÒÁÓÔ×ÏÒ ÐÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ×ÏÄÏÊ, É ÓÍÅÓØ
×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. óËÏÌØËÏ ÓÏÌÉ ÂÕÄÅÔ × ÓÏÓÕÄÅ ÞÅÒÅÚ
5 ÍÉÎÕÔ?
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÍ ÚÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ t, Á ÚÁ ÉÓËÏÍÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ y(t) ¡ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÌÉ × ÓÏÓÕÄÅ ÞÅÒÅÚ t ÍÉÎÕÔ ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÏÐÙ-
ÔÁ. îÁÊÄÅÍ, ÎÁ ÓËÏÌØËÏ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÌÉ × ÓÏÓÕÄÅ ÚÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË
×ÒÅÍÅÎÉ ÏÔ ÍÏÍÅÎÔÁ t ÄÏ ÍÏÍÅÎÔÁ t + –t. ÷ ÏÄÎÕ ÍÉÎÕÔÕ ÐÏÓÔÕÐÁÅÔ 2 Ì
ÒÁÓÔ×ÏÒÁ, Á × –t ÍÉÎÕÔ ¡ 2 · –t ÌÉÔÒÏ×; × ÜÔÉÈ 2 · –t ÌÉÔÒÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ-
ÓÑ 0, 3 · 2 · –t = 0, 6 –t ËÇ ÓÏÌÉ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÚÁ ×ÒÅÍÑ –t ÉÚ ÓÏÓÕÄÁ
                                         43

Страницы