Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4), ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ
dp
dx
= f(x, p) (5)
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p(x). òÅÛÁÑ ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÊÄÅÍ ÅÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ p =
= p(x, c
1
). ôÏÇÄÁ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
dy
dx
= p, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅ-
ÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4),
y =
Z
p(x, c
1
)dx + c
2
.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (x − 3)y
00
+ y
0
= 0.
y
0
= p, y
00
=
dp
dx
, (x − 3)
dp
dx
+ p = 0,
dp
p
= −
dx
x − 3
, ln |p| = −ln |x − 3| + ln |c
1
|, p =
c
1
x − 3
,
y =
Z
c
1
x − 3
dx + c
2
, y = c
1
ln |x − 3| + c
2
.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y
00
+
y
0
x
= x.
ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ y
0
= p, y
00
= p
0
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
p
0
+
p
x
= x.
üÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÁ-
ÇÁÅÍ p = uv É ÒÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + v
0
u +
1
x
uv = x, v
0
+
1
x
v = 0,
dv
v
= −
dx
x
, ln |v| = −ln |x|, v =
1
x
,
u
0
1
x
= x, u
0
= x
2
, u =
x
3
3
+ c
1
, p =
x
3
3
+ c
1
x
.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y(x) =
x
3
9
+ c
1
ln |x| + c
2
.
11.2. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ x
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
y
00
= f(y, y
0
). (6)
ðÏÌÏÖÉÍ y
0
= p, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ p ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ y ÔÏÇÄÁ
y
00
=
d
2
y
dx
2
=
dp
dx
=
dp
dy
·
dy
dx
=
dp
dy
· p.
21
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4), ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ
                                dp
                                    = f (x, p)                        (5)
                               dx
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p(x). òÅÛÁÑ ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÊÄÅÍ ÅÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ p =
                                  dy
= p(x, c1). ôÏÇÄÁ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ dx  = p, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅ-
ÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4),             Z
                           y=      p(x, c1)dx + c2 .
  ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (x − 3)y 00 + y 0 = 0.
                               dp             dp
               y 0 = p, y 00 =    , (x − 3) + p = 0,
                               dx             dx
       dp      dx                                              c1
          =−         , ln |p| = − ln |x − 3| + ln |c1 |, p =      ,
        p     x−3                                             x−3
                   Z
                       c1
             y=            dx + c2 , y = c1 ln |x − 3| + c2 .
                      x−3
                                            0
   ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 00 + yx = x.
   ðÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ y 0 = p, y 00 = p0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
                                        p
                                   p0 + = x.
                                        x
üÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÁ-
ÇÁÅÍ p = uv É ÒÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
             1               1           dv        dx                    1
 u0v + v 0u + uv = x, v 0 + v = 0,           = − , ln |v| = − ln |x|, v = ,
             x               x            v        x                     x
                                                            3
                01               2          x3            x
                                                              + c1
                           0
               u = x, u = x , u =              + c1 , p = 3        .
                 x                          3                 x
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                   x3
                          y(x) =       + c1 ln |x| + c2 .
                                    9

11.2. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ x

  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                                y 00 = f (y, y 0).                      (6)
ðÏÌÏÖÉÍ y 0 = p, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ p ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ y ÔÏÇÄÁ
                      00  d2 y  dp   dp dy    dp
                     y = 2=        =   ·   =     · p.
                         dx     dx dy dx dy
                                   21

Страницы