Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÔÏÇÄÁ
P (x, y)dx =
∂u
∂x
, Q(x, y)dy =
∂u
∂y
(22)
∂P (x, y)
∂y
=
∂
2
u
∂x∂y
,
∂Q
∂x
=
∂
2
u
∂x∂y
⇒
∂P
∂x
=
∂Q
∂y
,
Ô.Å. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (21) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ
(20) ÂÙÌÁ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (21) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ. ðÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ
∂u
∂x
= P (x, y),
ÐÏÌÕÞÉÍ
u(x, y) =
x
Z
x
0
P (x, y)dx + ϕ(y). (23)
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ y ÉÇÒÁÌÁ ÒÏÌØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ
ÉÍÅÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ϕ(y). æÕÎËÃÉÀ ϕ(y) ÐÏÄÂÅÒÅÍ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏÂÙ
×ÙÐÏÌÎÑÌÏÓØ ×ÔÏÒÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ (22). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÐÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
(23) ÐÏ y É ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÉÒÁ×ÎÑÅÍ Q(x, y):
∂u
∂y
=
x
Z
x
0
∂P (x, y)
∂y
dx + ϕ
0
(y) = Q(x, y).
ó ÕÞÅÔÏÍ (21) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ
∂u
∂y
=
x
Z
x
0
∂Q(x, y)
∂x
dx + ϕ
0
(y) = Q(x, y)
ÉÌÉ
∂u
∂y
= Q(x, y) − Q(x
0
, y) + ϕ
0
(y) = Q(x, y),
ÏÔËÕÄÁ
ϕ
0
(y) = Q(x
0
, y), ϕ(y) =
y
Z
y
0
Q(x
0
, y)dy + c.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ u(x, y) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ
u(x, y) =
x
Z
x
0
P (x, y)dx +
y
Z
y
0
Q(x
0
, y)dy + c
1
.
17
ÔÏÇÄÁ
                                 ∂u               ∂u
                  P (x, y)dx =      , Q(x, y)dy =     (22)
                                 ∂x               ∂y
             ∂P (x, y)    ∂ 2u     ∂Q     ∂ 2u       ∂P    ∂Q
                       =       ,       =         ⇒       =    ,
               ∂y        ∂x∂y       ∂x   ∂x∂y        ∂x    ∂y
Ô.Å. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (21) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ
(20) ÂÙÌÁ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ.
   ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (21) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ. ðÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ
                                 ∂u
                                    = P (x, y),
                                 ∂x
ÐÏÌÕÞÉÍ
                                     Zx
                       u(x, y) =          P (x, y)dx + ϕ(y).                (23)
                                     x0
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ y ÉÇÒÁÌÁ ÒÏÌØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ
ÉÍÅÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ϕ(y). æÕÎËÃÉÀ ϕ(y) ÐÏÄÂÅÒÅÍ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏÂÙ
×ÙÐÏÌÎÑÌÏÓØ ×ÔÏÒÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ (22). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÐÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
(23) ÐÏ y É ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÉÒÁ×ÎÑÅÍ Q(x, y):
                        Zx
                   ∂u      ∂P (x, y)
                      =              dx + ϕ0(y) = Q(x, y).
                   ∂y        ∂y
                         x0

ó ÕÞÅÔÏÍ (21) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ
                       Zx
                  ∂u      ∂Q(x, y)
                     =             dx + ϕ0 (y) = Q(x, y)
                  ∂y         ∂x
                         x0
ÉÌÉ
                 ∂u
                    = Q(x, y) − Q(x0, y) + ϕ0 (y) = Q(x, y),
                 ∂y
ÏÔËÕÄÁ
                                                     Zy
                ϕ0 (y) = Q(x0, y),        ϕ(y) =          Q(x0, y)dy + c.
                                                     y0
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ u(x, y) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ
                        Zx            Zy
               u(x, y) = P (x, y)dx + Q(x0, y)dy + c1 .
                          x0                    y0
                                           17

Страницы