Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ðÏÓÌÅ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁ x
2
, ÚÁÍÅÎÙ y =
= ux É ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÑ ×ÙËÌÁÄÏË, ÐÏÌÕÞÉÍ
u + x
du
dx
=
u − u
2
1 − 2u
,
du
dx
=
1
x
u
2
1 − 2u
.
òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
1 − 2u
u
2
du =
dx
x
.
ðÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÑÈ, ÐÏÌÕÞÉÍ
1
u
+ 2 ln |u| = ln
1
x
+ ln |c|
ÉÌÉ
ln(e
1
u
u
2
) = ln
c
x
, ÏÔËÕÄÁ u
2
e
1
u
=
c
x
.
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÏÊ y, ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
2
e
x
y
= cx.
7. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅÓÑ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
(x) = f
a
1
x + b
1
y + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2
(14)
Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÚÁÍÅÎÙ
x = u + α, y = y + β (15)
ÐÏÓÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÐÏÄÂÏÒÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ α, β ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ Ë
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ u, v. úÁÍÅÎÑÑ dx = du, dy = dv É
ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ (15) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14), ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
dv
du
= f
a
1
u + b
1
v + a
1
α + b
1
β + c
1
a
2
u + b
2
v + a
1
α + b
2
β + c
2
. (16)
ðÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ
a
1
α + b
1
β + c
1
= 0,
a
2
α + b
2
β + c
2
= 0.
(17)
ôÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ 2 ÓÌÕÞÁÑ.
1. ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ (17) – = |
a
1
b
1
a
2
b
2
| 6= 0, ÔÏÇÄÁ
α =
|
−c
1
b
1
c
2
b
2
|
–
, β =
|
a
1
−c
1
a
2
−c
2
|
–
13
  ðÏÓÌÅ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁ x2, ÚÁÍÅÎÙ y =
= ux É ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÑ ×ÙËÌÁÄÏË, ÐÏÌÕÞÉÍ
                          du u − u2         du      1 u2
                   u+x        =          ,       =         .
                          dx 1 − 2u         dx x 1 − 2u
òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
                               1 − 2u         dx
                                    2
                                        du =     .
                                  u            x
ðÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÑÈ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                          1                  1
                            + 2 ln |u| = ln      + ln |c|
                          u                  x
ÉÌÉ
                       1            c                   1 c
                  ln(e u u2) = ln      , ÏÔËÕÄÁ u2e u = .
                                    x                     x
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÏÊ y, ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                        x
                                y 2 e y = cx.

7. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
   ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅÓÑ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ
  äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                                            
                                        a1 x + b 1 y + c 1
                      y 0 (x) = f                                 (14)
                                        a2 x + b 2 y + c 2
Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÚÁÍÅÎÙ
                         x = u + α, y = y + β                     (15)
ÐÏÓÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÐÏÄÂÏÒÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ α, β ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ Ë
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ u, v. úÁÍÅÎÑÑ dx = du, dy = dv É
ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ (15) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14), ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                                                             
                   dv      a1 u + b 1 v + a 1 α + b 1 β + c 1
                      =f                                        . (16)
                   du      a2 u + b 2 v + a 1 α + b 2 β + c 2
ðÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ          
                            a1 α + b1β + c1 = 0,
                                                                  (17)
                            a2 α + b2β + c2 = 0.
ôÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (14) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ 2 ÓÌÕÞÁÑ.
   1. ïÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ (17) – = |aa21 bb21 | 6= 0, ÔÏÇÄÁ
                          |−c 1 b1
                            c2 b2 |      |aa12 −c 1
                                               −c2 |
                       α=           , β=
                             –                –
                                     13

Страницы