Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ðÏÌÁÇÁÑ v
0
−v = 0 É ÒÅÛÁÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ln |v| = x + c. ðÒÉÎÉÍÁÑ
c = 0, ÎÁÊÄÅÍ v = e
x
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v(x) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ u
0
v = sin x É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ
ÅÇÏ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
u(x) =
Z
e
−x
sin xdx + c.
ôÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y(x) =
Z
e
−x
sin xdx + c
e
x
.
ðÏÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ
y(x) = ce
x
−
1
2
(cos x + sin x).
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ y
0
+ 3
y
x
=
2
x
3
, y(1) = 1.
ðÏ×ÔÏÒÑÑ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÓÐÏÓÏ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÂÕÄÅÍ
ÉÍÅÔØ
y = uv, u
0
v + v
0
u +
3
x
uv =
2
x
3
,
v
0
+
3
x
v = 0,
dv
v
= −
3
x
dx, ln v = −3 ln |x|, v =
1
x
3
,
u
0
v =
2
x
3
, u
0
=
2x
3
x
3
, u
0
= 2, u = 2x + c, y(x) = (2x + c)
1
x
3
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÜÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
2 + c
1
= 1 ⇒ c = −1
É ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y = (2x − 1)
1
x
3
.
5. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
y
0
(x) + p(x)y(x) = q(x)y
n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ.
ðÒÉ n = 0 ÏÎÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, ÐÒÉ n = 1 ¡ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÒÉ ÄÒÕÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÏÎÏ ÐÒÉ-
×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÐÒÉÅÍÁ: ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
10
ðÏÌÁÇÁÑ v 0 − v = 0 É ÒÅÛÁÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ln |v| = x + c. ðÒÉÎÉÍÁÑ
c = 0, ÎÁÊÄÅÍ v = ex . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v(x) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ u0 v = sin x É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ
ÅÇÏ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                 Z
                          u(x) = e−x sin xdx + c.

ôÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                            Z                
                     y(x) =    e−x sin xdx + c ex .

ðÏÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ
                                   1
                       y(x) = cex − (cos x + sin x).
                                   2
  ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ y 0 + 3 xy = x23 , y(1) = 1.
  ðÏ×ÔÏÒÑÑ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÓÐÏÓÏ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÂÕÄÅÍ
ÉÍÅÔØ
                                            3     2
                       y = uv, u0v + v 0 u + uv = 3 ,
                                            x     x
                  3         dv    3                          1
            v 0 + v = 0,       = − dx, ln v = −3 ln |x|, v = 3 ,
                  x          v    x                         x
                           3
                2       2x                                       1
      u0 v = 3 , u0 = 3 , u0 = 2, u = 2x + c, y(x) = (2x + c) 3 .
               x         x                                       x
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÜÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                         2+c
                             = 1 ⇒ c = −1
                          1
É ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                             1
                              y = (2x − 1)      .
                                             x3

5. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
  õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                         y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x)y n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ.
   ðÒÉ n = 0 ÏÎÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, ÐÒÉ n = 1 ¡ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÒÉ ÄÒÕÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÏÎÏ ÐÒÉ-
×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÐÒÉÅÍÁ: ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
                                  10

Страницы