Обыкновенные дифференциальные уравнения. Козлова В.С - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. äÅÌÅÎÉÅÍ ÏÂÅÉÈ
ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ϕ
1
(y)ϕ
2
(x) (ψ
1
(y) 6= 0, ϕ
2
(x) 6= 0) ÏÎÏ ÐÒÉ×Ï-
ÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
ϕ
1
(x)
ϕ
2
(x)
dx +
ψ
1
(y)
ψ
2
(y)
dy = 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. éÎÏÇÄÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÕÖÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ Ó ÒÁÚÄÅ-
ÌÅÎÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0.
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÅÇÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
Z
ϕ(x)dx +
Z
ψ(y)dy = c.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2x
2
dx + ydy = 0.
2
Z
x
2
dx +
Z
y dy = c,
2
3
x
3
+
y
2
2
= c ¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ.
ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x(y + 1)dx − (x
2
+ 1)ydy = 0.
òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÇÏ Ë ×ÉÄÕ
xdx
x
2
+ 1
−
ydy
y + 1
= 0.
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
1
2
ln(x
2
+ 1) −
Z
1 −
1
y + 1
dy = C,
1
2
ln(x
2
+ 1) − y + ln |y + 1| = C.
úÁÍÅÎÑÑ C ÎÁ ln |C|, ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
Ce
y
y + 1
=
p
x
2
+ 1.
4. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ
ìÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
y
0
+ p(x)y = q(x). (7)
8
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. äÅÌÅÎÉÅÍ ÏÂÅÉÈ
ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ϕ1(y)ϕ2(x) (ψ1 (y) 6= 0, ϕ2 (x) 6= 0) ÏÎÏ ÐÒÉ×Ï-
ÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
                         ϕ1 (x)      ψ1(y)
                                dx +       dy = 0.
                         ϕ2 (x)      ψ2(y)
   ðÒÉÍÅÒ 1. éÎÏÇÄÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÕÖÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ Ó ÒÁÚÄÅ-
ÌÅÎÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
                          ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0.
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÅÇÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                      Z         Z
                        ϕ(x)dx + ψ(y)dy = c.

  ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2x2dx + ydy = 0.
                       Z        Z
                     2 x2dx + y dy = c,

                    2 3 y2
                      x +   = c ¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ.
                    3     2
  ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x(y + 1)dx − (x2 + 1)ydy = 0.
  òÁÚÄÅÌÑÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÇÏ Ë ×ÉÄÕ
                            xdx   ydy
                            2
                                −     = 0.
                           x +1 y+1
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                 Z         
  1                      1                1
    ln(x2 + 1) −     1−       dy = C,       ln(x2 + 1) − y + ln |y + 1| = C.
  2                     y+1               2
úÁÍÅÎÑÑ C ÎÁ ln |C|, ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
                             Cey   p
                                 = x2 + 1.
                            y+1

4. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ
   ÐÏÒÑÄËÁ
  ìÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
                            y 0 + p(x)y = q(x).                            (7)
                                      8

Страницы