Составители:
Рубрика:
51 52
действительную работу W
ext,ii
(рис. 15.1,б). После окончательного
формирования обобщённой силы F
i
статическим способом при-
ложим обобщённую силу F
j
. Балка получит дополнительные де-
формации и перемещения: Δ
ij
– возможное перемещение в на-
правлении обобщённой силы F
i
от действия обобщённой силы F
j
,
Δ
jj
– действительное перемещение в направлении обобщённой
силы F
j
от её же воздействия (рис. 15.1,б внизу). Постоянная по
величине обобщённая сила F
i
совершает возможную работу W
ext,ij
на перемещении Δ
ij
, а статически приложенная сила F
j
– действи-
тельную работу W
ext,jj
на перемещении Δ
jj
. Суммарная работа
)1(
ext
W внешних обобщённых сил будет равна
jj,extij,extii,ext
)1(
ext
WWWW ++= .
В п. 10.2 десятой лекции получены зависимости для вычис-
ления действительной и возможной работы внешних обобщён-
ных сил F
i
и F
j
:
iiiii,ext
F
2
1
W Δ= ,
ijiij,ext
FW Δ= ,
jjjjj,ext
F
2
1
W Δ=
.
Таким образом, выражение суммарной работы от совместно-
го действия обобщённых сил F
i
и F
j
в случае, когда первой при-
кладывается сила F
i
, а второй F
j
, примет вид:
jjjijiiii
)1(
ext
F
2
1
FF
2
1
W Δ+Δ+Δ= . (15.1)
Рассмотрим обратный порядок приложения обобщённых
сил: первой приложим статическим способом обобщённую силу
F
j
, а затем, после её окончательного формирования, – обобщён-
ную силу F
i
(рис. 15.1,в). Суммарная работа внешних обобщён-
ных сил F
i
и F
j
)2(
ext
W в этом случае запишется:
ii,extji,extjj,ext
)2(
ext
WWWW ++= .
Учитывая, что W
ext,ji
= F
j
Δ
ji
, получим:
iiijijjjj
)2(
ext
F
2
1
FF
2
1
W Δ+Δ+Δ= . (15.2)
Значение суммарной работы внешних обобщённых сил F
i
и
F
j
не зависит от последовательности их приложения, т.е.
)1(
ext
W =
)2(
ext
W.
Приняв во внимание соотношения (15.1) и (15.2) оконча-
тельно будем иметь:
F
i
Δ
ij
= F
j
Δ
jj
, или
W
ext,ij
= W
ext,ji
. (15.3)
Выражение (15.3) и составляет содержание теоремы о взаим-
ности возможных работ внешних сил: возможная работа i-й
обобщённой силы (внешних сил i-го состояния) на перемещени-
ях, вызванных j-й обобщённой силой (внешними силами j-го со-
стояния), равна возможной работе j-й обобщённой силы (внеш-
них сил j-го состояния) на перемещениях, вызванных i-й обоб-
щённой
силой (внешними силами i-го состояния). В строитель-
ной механике эта теорема носит имя итальянского учёного Энри-
ко Бетти (1823–1892).
Без доказательства отметим справедливость теоремы Бетти
для внутренних сил
W
int,ij
= W
int,ji
,
т.е. возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформа-
циях j-го состояния равна возможной работе внутренних сил j-го
состояния на деформациях i-го состояния.
Из теоремы Бетти, как частный случай, вытекают другие
теоремы взаимности строительной механики, широко используе-
мые в расчётах сооружений.
15.2. Теорема о взаимности перемещений
По-прежнему рассмотрим состояния i и j одного и того же
сооружения (рис. 15.2). В состоянии i на него действует сила
F
i
= 1, а в состоянии j – сила F
j
= 1. Зафиксируем возможные пе-
ремещения δ
ij
и δ
ji
, возникающие в состояниях i и j от единичных
сил.
действительную работу Wext,ii (рис. 15.1,б). После окончательного ( 2) 1 1
формирования обобщённой силы Fi статическим способом при- Wext = FjΔ jj + FjΔ ji + Fi Δ ii . (15.2)
2 2
ложим обобщённую силу Fj. Балка получит дополнительные де- Значение суммарной работы внешних обобщённых сил Fi и
формации и перемещения: Δij – возможное перемещение в на- Fj не зависит от последовательности их приложения, т.е.
правлении обобщённой силы Fi от действия обобщённой силы Fj, (1) ( 2)
Wext = Wext .
Δjj – действительное перемещение в направлении обобщённой
силы Fj от её же воздействия (рис. 15.1,б внизу). Постоянная по Приняв во внимание соотношения (15.1) и (15.2) оконча-
величине обобщённая сила Fi совершает возможную работу Wext,ij тельно будем иметь:
на перемещении Δij, а статически приложенная сила Fj – действи- FiΔij = FjΔjj , или
тельную работу Wext,jj на перемещении Δjj. Суммарная работа Wext,ij = Wext,ji . (15.3)
(1) Выражение (15.3) и составляет содержание теоремы о взаим-
Wext внешних обобщённых сил будет равна ности возможных работ внешних сил: возможная работа i-й
(1)
Wext = Wext ,ii + Wext ,ij + Wext , jj . обобщённой силы (внешних сил i-го состояния) на перемещени-
ях, вызванных j-й обобщённой силой (внешними силами j-го со-
В п. 10.2 десятой лекции получены зависимости для вычис-
стояния), равна возможной работе j-й обобщённой силы (внеш-
ления действительной и возможной работы внешних обобщён-
них сил j-го состояния) на перемещениях, вызванных i-й обоб-
ных сил Fi и Fj:
щённой силой (внешними силами i-го состояния). В строитель-
1 ной механике эта теорема носит имя итальянского учёного Энри-
Wext ,ii = Fi Δ ii ,
2 ко Бетти (1823–1892).
Wext ,ij = Fi Δ ij , Без доказательства отметим справедливость теоремы Бетти
1 для внутренних сил
Wext , jj =FjΔ jj . Wint,ij = Wint,ji,
2
т.е. возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформа-
Таким образом, выражение суммарной работы от совместно-
циях j-го состояния равна возможной работе внутренних сил j-го
го действия обобщённых сил Fi и Fj в случае, когда первой при-
состояния на деформациях i-го состояния.
кладывается сила Fi, а второй Fj, примет вид:
Из теоремы Бетти, как частный случай, вытекают другие
(1) 1 1 теоремы взаимности строительной механики, широко используе-
Wext = Fi Δ ii + Fi Δ ij + Fj Δ jj . (15.1)
2 2 мые в расчётах сооружений.
Рассмотрим обратный порядок приложения обобщённых
сил: первой приложим статическим способом обобщённую силу 15.2. Теорема о взаимности перемещений
Fj, а затем, после её окончательного формирования, – обобщён- По-прежнему рассмотрим состояния i и j одного и того же
ную силу Fi (рис. 15.1,в). Суммарная работа внешних обобщён- сооружения (рис. 15.2). В состоянии i на него действует сила
( 2) Fi = 1, а в состоянии j – сила Fj = 1. Зафиксируем возможные пе-
ных сил Fi и Fj Wext в этом случае запишется:
( 2) ремещения δij и δji, возникающие в состояниях i и j от единичных
Wext = Wext , jj + Wext , ji + Wext ,ii . сил.
Учитывая, что Wext,ji = FjΔji, получим:
51 52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
