Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил. Крамаренко А.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

55 56
ремещения i-й угловой связи на единицу. К состояниям i и j при-
меним теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см.
соотношение (15.3) п. 15.1):
W
ext,ij
= W
ext,ji
.
В нашем случае:
W
ext,ij
= r
ii
⋅ 0 + r
ji
⋅ 1, W
ext,ji
= r
jj
⋅ 0 + r
ij
⋅ 1,
r
ji
⋅ 1 = r
ij
⋅ 1, или r
ij
= r
ji
. (15.5)
Работа реакций остальных связей заданного сооружения (на
рис. 15.4 – реакция вертикальной связи левой опоры А), не полу-
чивших перемещений, в выражения для возможных работ W
ext,ij
и
W
ext,ji
не войдёт.
Равенство (15.5) является математическим представлением
теоремы о взаимности реакций: реакция r
ij
в i-й связи от переме-
щения j-й связи на единицу равна реакции r
ji
в j-й связи от сме-
щения j-й связи на единицу.
Принцип взаимности реакций, вытекающей из теоремы Бет-
ти как частный случай, справедлив не только для реакций опор-
ных связей различного типа, но и для реакций внутренних связей
(изгибающих моментов, поперечных и продольных сил).
Как и в теореме о взаимности перемещений
(см. п. 15.2), в
рассматриваемой здесь теореме о взаимности реакций речь идёт
об удельных реакциях, т.е. реакциях, вызванных единичными
смещениями связей. Размерность удельной реакции определяется
как отношение размерности рассматриваемой реакции к размер-
ности перемещения, вызвавшего эту реакцию. Для удельных ре-
акций r
ij
и r
ji
, показанных на рис. 15.4, имеем:
[r
ij
] =
см
смкН ⋅
= кН, [r
ji
] =
рад
кН
= кН.
В строительной механике теорема о взаимности реакций из-
вестна как первая теорема английского физика Джона Рэлея
(1842–1919). Она широко применяется в расчётах статически не-
определимых систем методом перемещений.
15.4. Теорема о взаимности реакций и перемещений
На рис. 15.5 показаны два состояния произвольной статиче-
ски неопределимой системы (рамы). В первом состоянии (со-
стоянии i) на раму действует обобщённая сила F
i
= 1. Опорная
связь j получает единичное перемещение во втором состоянии
(состоянии j). Введём обозначения: r'
ji
– реакция в j-й связи от
обобщённой силы F
i
= 1 в состоянии i, δ'
ij
– перемещение по на-
правлению обобщённой силы F
i
= 1 от смещения связи j на еди-
ницу в состоянии j. За положительное направление перемещения
δ'
ij
примем перемещение, происходящее по направлению обоб-
щённой силы F
i
= 1, а за положительную реакцию r'
ji
реакцию,
направление которой совпадает с перемещением j-й связи.
Для состояний i и j используем теорему о взаимности воз-
можных работ внешних сил (см. соотношение (15.3) в п. 15.1).
W
ext,ij
= 1 ⋅ δ'
ij
+ r'
ji
⋅ 1.
Возможная работа W
ext,ji
внешних сил состояния j на пере-
мещениях, вызываемых внешними силами состояния i, равна ну-
лю, так как в состоянии i перемещения по направлению опорных
связей в том числе и по направлению связи j, отсутствуют, т.е.
W
ext,ji
= 0.
В соответствии с выражением (15.3) W
ext,ij
= W
ext,ji
, поэтому
1
⋅ δ'
ij
+ r'
ji
⋅ 1 = 0, или r'
ji
= –δ'
ji
. (15.6)
Соотношение (15.6) является математической формулиров-
кой теоремы о взаимности реакций и перемещений: реакция в j-й
связи сооружения от обобщённой силы F
i
= 1 с обратным знаком 
ремещения i-й угловой связи на единицу. К состояниям i и j при-                    стоянии i) на раму действует обобщённая сила Fi = 1. Опорная
меним теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см.                        связь j получает единичное перемещение во втором состоянии
соотношение (15.3) п. 15.1):                                                       (состоянии j). Введём обозначения: r'ji – реакция в j-й связи от
                                    Wext,ij = Wext,ji.                             обобщённой силы Fi = 1 в состоянии i, δ'ij – перемещение по на-
     В нашем случае:                                                               правлению обобщённой силы Fi = 1 от смещения связи j на еди-
                Wext,ij = rii ⋅ 0 + rji ⋅ 1, Wext,ji = rjj ⋅ 0 + rij ⋅ 1,          ницу в состоянии j. За положительное направление перемещения
                            rji ⋅ 1 = rij ⋅ 1, или rij = rji .            (15.5)   δ'ij примем перемещение, происходящее по направлению обоб-
     Работа реакций остальных связей заданного сооружения (на                      щённой силы Fi = 1, а за положительную реакцию r'ji реакцию,
рис. 15.4 – реакция вертикальной связи левой опоры А), не полу-                    направление которой совпадает с перемещением j-й связи.
чивших перемещений, в выражения для возможных работ Wext,ij и
Wext,ji не войдёт.
     Равенство (15.5) является математическим представлением
теоремы о взаимности реакций: реакция rij в i-й связи от переме-
щения j-й связи на единицу равна реакции rji в j-й связи от сме-
щения j-й связи на единицу.
     Принцип взаимности реакций, вытекающей из теоремы Бет-
ти как частный случай, справедлив не только для реакций опор-
ных связей различного типа, но и для реакций внутренних связей
(изгибающих моментов, поперечных и продольных сил).
     Как и в теореме о взаимности перемещений (см. п. 15.2), в
рассматриваемой здесь теореме о взаимности реакций речь идёт
об удельных реакциях, т.е. реакциях, вызванных единичными
смещениями связей. Размерность удельной реакции определяется
как отношение размерности рассматриваемой реакции к размер-                            Для состояний i и j используем теорему о взаимности воз-
ности перемещения, вызвавшего эту реакцию. Для удельных ре-                        можных работ внешних сил (см. соотношение (15.3) в п. 15.1).
акций rij и rji, показанных на рис. 15.4, имеем:                                                             Wext,ij = 1 ⋅ δ'ij + r'ji ⋅ 1.
                          кН ⋅ см                       кН                             Возможная работа Wext,ji внешних сил состояния j на пере-
                  [rij] =             = кН, [rji] =            = кН.               мещениях, вызываемых внешними силами состояния i, равна ну-
                              см                       рад
                                                                                   лю, так как в состоянии i перемещения по направлению опорных
     В строительной механике теорема о взаимности реакций из-
                                                                                   связей в том числе и по направлению связи j, отсутствуют, т.е.
вестна как первая теорема английского физика Джона Рэлея
                                                                                                                      Wext,ji = 0.
(1842–1919). Она широко применяется в расчётах статически не-
                                                                                       В соответствии с выражением (15.3) Wext,ij = Wext,ji, поэтому
определимых систем методом перемещений.
                                                                                                    1 ⋅ δ'ij + r'ji ⋅ 1 = 0, или r'ji = –δ'ji.    (15.6)
     15.4. Теорема о взаимности реакций и перемещений                                  Соотношение (15.6) является математической формулиров-
    На рис. 15.5 показаны два состояния произвольной статиче-                      кой теоремы о взаимности реакций и перемещений: реакция в j-й
ски неопределимой системы (рамы). В первом состоянии (со-                          связи сооружения от обобщённой силы Fi = 1 с обратным знаком

                                      55                                                                            56

Страницы