Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил. Крамаренко А.А - 44 стр.

если же такого рода нагрузка действует перпендикулярно оси          ваемых элементами матрицы S, с эпюрами внутренних усилий в
грузового участка или вообще отсутствует на нём, то                 единичных состояниях основной системы метода сил, описывае-
                                     ⎡ l ⎤                          мых элементами матрицы L. Если расчёт произведён правильно,
                            B Nk = ⎢ k ⎥ .                          то результат сопряжения вышеупомянутых эпюр в матричной
                                     ⎣ EA k ⎦
                                                                    форме даст нулевую матрицу, т.е.
     Из системы канонических уравнений (16.20) получим матри-                                LT B S = 0.                  (16.27)
цу неизвестных метода сил:                                               В расчётах плоских статически неопределимых рамных и ба-
                              X = –δ-1 ΔF.                (16.23)   лочных систем в соотношениях (16.26) и (16.27) матрицы L, LF
      -1
     δ – матрица, обратная по отношению к матрице внешней           будут содержать блоки, учитывающие только изгибающие мо-
податливости δ. Из линейной алгебры известно, что                   менты, а матрица В – только элементы, соответствующие изгиб-
                              δ ⋅ δ-1 = Е,                          ным деформациям сооружения. С учётом данного обстоятельст-
где Е – единичная матрица.                                          ва, когда L = M, LF = MF, B = BM, S = M(F), имеем
     Подставляя соотношение (16.21) и (16.22) в матричное вы-                       M(F) = MF – M(MT BM M)-1(MT BM MF),   (16.28)
ражение (16.23), получим:                                                                     MT BM M(F) = 0.              (16.29
                        X = –(LT B L)-1 (LT B LF).        (16.24)
     Вычислив матрицу усилий в лишних связях сооружения Х и             16.8. Пример расчёта статически неопределимой рамы
используя матрицы L и LF, элементы которых есть внутренние                   методом сил в матричной форме
усилия (изгибающие моменты, поперечные и продольные) от                 В раме, показанной на рис. 16.14,а, построить эпюры внут-
X1 = 1, X2 = 1, …, Xj = 1, …, Xn = 1 и заданной нагрузки, в соот-   ренних усилий отдельно от постоянной равномерно распределён-
ветствии с принципом независимости действия сил, получим:           ной нагрузки q1 = 20 кН/м, первой временной равномерно рас-
                          ⎡ M ( F) ⎤                                пределённой нагрузки q2 = 12 кН/м, второй временной нагрузки –
                          ⎢        ⎥                                сосредоточенной силы F = 24 кН, а также вычислить расчётные
                      S = ⎢ Q ( F) ⎥ = L F + LX .         (16.25)   изгибающие моменты в её характерных сечениях. Соотношение
                          ⎢ ( F) ⎥                                  между изгибными жесткостями поперечных сечений ригеля и
                          ⎢⎣ N ⎥⎦
                                                                    стоек задано: EJp : EJc = 2 : 0,5.
     S – матрица внутренних усилий (изгибающих моментов M(F),           Порядок расчёта рамы на заданные воздействия в матричной
поперечных Q(F) и продольных N(F) сил в заданном сооружении от      форме определяется соотношением (16.28):
силового воздействия. Число строк этой матрицы совпадает с                         M(F) = MF – M(MT BM M)-1(MT BM MF).
числом строк матрицы L и LF, а число столбцов – с числом                1. Подготовительный этап расчёта: определение степени ста-
столбцов матрицы LF, т.е. с количеством комбинаций внешних          тической неопределимости рамы (nst = 3 ⋅ 3 – 7 = 2), выбор основ-
воздействий.                                                        ной системы метода сил (рис. 16.14,б), построение эпюр изги-
     С учётом выражения (16.24) матричное соотношение (16.25)       бающих моментов в основной системе от Х1 = 1, Х2 = 1
в окончательной форме запишется:                                    (рис. 16.14,в,г), постоянной нагрузки (рис. 16.15,а), первой вре-
                S = LF – L(LTBL)-1(LTBLF).                (16.26)   менной (рис. 16.15,б) и второй временной нагрузки (рис. 16.15,в).
     Для кинематической проверки расчёта заданного статически
неопределимого сооружения на силовое воздействие производит-
ся сопряжение окончательных эпюр внутренних усилий, описы-
                               83                                                                  84