Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 4: Статически неопределимые системы. Метод перемещений. Крамаренко А.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

19 20
.
ds)s()s(
n
м
k
1k
o
k
jkik
ijint,
EJ
MM
W
∑
∫
=
−=
l
(19.10)
После подстановки выражений (19.9) и (19.10) в зависимость
(19.8) получим
.
ds)s()s(
n
м
k
1k
o
k
jkik
ji
EJ
MM
r
∑
∫
=
=
l
(19.11)
Если i-е состояние основной системы будем рассматривать
как исходное и как вспомогательное, повторно применяя прин-
цип возможных перемещений, вычислим
.
ds)s(
n
м
k
1k
o
k
2
ik
ii
EJ
M
r
∑
∫
=
=
l
(19.12)
Из соотношения (19.12) следует, что главные коэффициенты
r
ii
системы канонических уравнений всегда положительны. Фор-
мула (19.11) по существу подтверждает теорему о взаимности ре-
акций (r
ji
= r
ij
), так как
множители M
ik
(s) и
M
jk
(s) в подынтегральном
выражении можно ме-
нять местами.
Для определения ре-
акций в наложенных свя-
зях от заданной нагрузки
R
iF
воспользуемся теоре-
мой о взаимности воз-
можных работ состояний
F и i, изображенных на
рис. 19.15,а,б (см. Крама-
ренко А.А. Лекции по
строительной механике
стержневых систем. Ч. 3.
Статически неопредели-
мые системы. Метод сил:
Курс лекций / А.А. Кра-
маренко, Л.А. Широких.
– Новосибирск: НГАСУ, 2002. – п. 15.1 пятнадцатой лекции).
WW
.iF,extFi,ext
=
(19.13)
Так как
,F1
Fi
iF
Fi,ext
R
W
δ
+
⋅
=
,0
W
iF,ext
=
то, используя равенство (19.13), получим:
,F
Fi
iF
R
δ
−
=
(19.14)
где
δ
Fi
– перемещение в направлении обобщенной силы F от
смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице в
основной системе метода перемещений.
Перемещение
δ
Fi
определяется по формуле, которую здесь
приведем без доказательства:
.
ds)s()s(
n
1k
k
o
k
o
Fk
ik
Fi
м
EJ
M
M
∑
δ
=
∫
=
l
(19.15)
В соотношении (19.15):
M
)S(ik
– изгибающие моменты в ос-
новной системе метода перемещений от смещения i-й наложен-
ной связи на величину, равную единице;
M
o
)S(Fk
– изгибающие
моменты в любой статически определимой основной системе ме-
тода сил, полученной из рассматриваемой основной системы ме-
тода перемещений удалением лишних связей, в том числе обяза-
тельно и i-й связи, от единичного обобщенного фактора
(рис.19.15,в).
Изгибающие моменты )s(
M
o
Fk
от полного значения обоб-
щенной силы F можно представить в виде
,F)s()s(
M
M
o
Fk
o
Fk
⋅=
отсюда
.
F
)s(
)s(
M
M
o
Fk
o
Fk
= (19.16)
Рис. 19.15 
                            nм lk    M ik (s) M jk (s)ds               – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – п. 15.1 пятнадцатой лекции).
                 W int,ij = − ∑ ∫                        .   (19.10)                           W ext ,Fi = W ext ,iF.         (19.13)
                            k =1 o          EJ k
     После подстановки выражений (19.9) и (19.10) в зависимость        Так как
(19.8) получим                                                                             W ext ,Fi = R iF ⋅ 1 + F δFi ,
                          n м l k M ik (s) M jk (s)ds                                              W ext ,iF = 0,
                    r ji ∑ ∫
                        =                             .  (19.11)       то, используя равенство (19.13), получим:
                          k =1 o           EJ k
    Если i-е состояние основной системы будем рассматривать                                      R iF = −F δFi ,            (19.14)
как исходное и как вспомогательное, повторно применяя прин-            где δFi – перемещение в направлении обобщенной силы F от
цип возможных перемещений, вычислим                                    смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице в
                              nм lk   2
                                    M ik (s)ds .                       основной системе метода перемещений.
                        r ii ∑ ∫
                            =                        (19.12)                Перемещение δFi определяется по формуле, которую здесь
                               k =1 o      EJ k
      Из соотношения (19.12) следует, что главные коэффициенты         приведем без доказательства:
rii системы канонических уравнений всегда положительны. Фор-
мула (19.11) по существу подтверждает теорему о взаимности ре-
                                                                                                 l
акций (rji = rij), так как                                                                     nм k                    o
                                                                                                       Mik (s) M Fk (s)ds .
множители Mik(s)
Mjk(s) в подынтегральном
                         и                                                               δFi = ∑
                                                                                               k =1
                                                                                                    ∫o       EJ k
                                                                                                                                     (19.15)

выражении можно ме-
нять местами.                                                              В соотношении (19.15):     Mik (S)    – изгибающие моменты в ос-
      Для определения ре-
                                                                       новной системе метода перемещений от смещения i-й наложен-
акций в наложенных свя-
зях от заданной нагрузки                                               ной связи на величину, равную единице; M oFk (S) – изгибающие
RiF воспользуемся теоре-                                               моменты в любой статически определимой основной системе ме-
мой о взаимности воз-                                                  тода сил, полученной из рассматриваемой основной системы ме-
можных работ состояний                                                 тода перемещений удалением лишних связей, в том числе обяза-
F и i, изображенных на                                                 тельно и i-й связи, от единичного обобщенного фактора
рис. 19.15,а,б (см. Крама-                                             (рис.19.15,в).
ренко А.А. Лекции по
                                                                           Изгибающие моменты MoFk (s) от полного значения обоб-
строительной механике
стержневых систем. Ч. 3.                                               щенной силы F можно представить в виде
                                                                                             o          o
Статически неопредели-                                                                     M Fk (s) = M Fk (s) ⋅ F, отсюда
мые системы. Метод сил:                                                                                            o
Курс лекций / А.А. Кра-                                                                            o
                                                                                                            =
                                                                                                                M Fk (s) .
                                                                                               M   Fk (s)                            (19.16)
маренко, Л.А. Широких.                   Рис. 19.15                                                                F

                                     19                                                                  20

Страницы