Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 12 стр.

                     Y


                         F                δ




                 0           F        F   X
             Z       Рис. 3.2
      Суть обобщения: для пластин конечной толщины δ прини-
мается то, что выполняется в бесконечно тонкой пластине:
      а) равенство нулю напряжений из плоскости;
      b) равномерное распределение неизвестных напряжений
σ x , σ y , τ xy по толщине пластин. Уравнения для решения пло-
ских задач получим из зависимостей (2.1 – 2.8), опуская все сла-
гаемые с индексом z . При этом статические и геометрические
уравнения совпадут, а физические будут различны.
    В итоге имеем: два уравнения Навье (совместно с двумя
уравнениями равновесия для точек на поверхности тела) с тремя
неизвестными напряжениями σ x , σ y , τ xy ; три уравнения Коши
(и одно уравнение неразрывности деформаций) – с пятью неиз-
вестными: два перемещения – U, V; три деформации – ε x ,
ε y , γ xy ; три физических уравнения. Итак, для решения плоских
задач есть восемь уравнений с восьмью неизвестными.

    3.2. Функция напряжений (функция Эри)
   При решении задачи в напряжениях основными неизвест-
ными будут σ x , σ y , τ xy . Если объемные силы постоянны (на-
пример, собственный вес), то уравнения для обеих плоских за-
дач совпадают. Решение упрощается, если все неизвестные на-
пряжения выразить через одну функцию - ϕ( x , y) - функцию
напряжений следующим образом :
                                 12